Carattere di una serie problematica
Buongiorno a tutti,
vi scrivo per chiedervi se sapeste come continuare/dirmi dove ho sbagliato dello studio del carattere di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(infty) n^(1/n^2)-1 $
La condizione necessaria per la convergenza della serie è rispettata dato che
$ lim_(n to infty) n^(1/n^2)-1 = e^(ln n/n^2)-1 = 0 $
Dopo tentativi falliti di studio di qualche maggiorazione, criterio della radice e del rapporto, ho provato a studiare questa serie asintotica che mi sembra promettente
$ sum_(n=1)^infty ln n/n^2 $
Anche qui ho provato un po' di cose, ma nessuna sembra funzionare.
Qualche idea? Vi ringrazio in anticipo
vi scrivo per chiedervi se sapeste come continuare/dirmi dove ho sbagliato dello studio del carattere di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(infty) n^(1/n^2)-1 $
La condizione necessaria per la convergenza della serie è rispettata dato che
$ lim_(n to infty) n^(1/n^2)-1 = e^(ln n/n^2)-1 = 0 $
Dopo tentativi falliti di studio di qualche maggiorazione, criterio della radice e del rapporto, ho provato a studiare questa serie asintotica che mi sembra promettente
$ sum_(n=1)^infty ln n/n^2 $
Anche qui ho provato un po' di cose, ma nessuna sembra funzionare.
Qualche idea? Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Dato che $\frac{\log n}{\sqrt{n}} \to 0$ per $n \to \infty$, esiste $N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ tale che $\log n \le \sqrt{n}$ per ogni $n \ge N$.
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Ciao AmedeoDes,
Più in generale si può partire dalla ben nota disuguaglianza $lnx < x $; infatti posto $x:=n^a$, $\AA a > 0 $ si ha:
$ ln n^a < n^a \implies ln n < n^a/a $
Dato che si può scegliere qualsiasi valore di $ a > 0 $, nulla vieta di scegliere $a = 1/2 $ come ha fatto Mephlip, sicché si ha:
$ln n < 2\sqrt{n} $
Più in generale si può partire dalla ben nota disuguaglianza $lnx < x $; infatti posto $x:=n^a$, $\AA a > 0 $ si ha:
$ ln n^a < n^a \implies ln n < n^a/a $
Dato che si può scegliere qualsiasi valore di $ a > 0 $, nulla vieta di scegliere $a = 1/2 $ come ha fatto Mephlip, sicché si ha:
$ln n < 2\sqrt{n} $
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@Pilloeffe: Sono stato molto più pigro di te 
infatti la mia non ha il fattore moltiplicativo $2$, io ho semplicemente usato che il rapporto tende a $0$ e quindi è definitivamente più piccolo di $1$. 
@sellacollesella: Diciamo che, nei casi più comuni, provengono da studi di funzione opportune, da sviluppi di Taylor con resto di Lagrange, da disuguaglianze di lipschitzianità o dal calcolo integrale. Quindi, più che tabularle, uno vede cosa gli serve sul momento e poi lo applica. Per dire, dimostrare che per ogni $x>0$ si ha $\log x < x$ può essere effettuato sia tramite Taylor con Lagrange, sia dallo studio della funzione $f(x)=x-\log x$.
Oppure, dato che $\text{arctan}$ è lipschitziana con costante di Lipschitz $L=1$, significa che per ogni $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ è $|\arctan x_1-\arctan x_2| \le |x_1-x_2|$. Dall'arbitrarietà di $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ potresti trovare una disuguaglianza efficace per il problema che stai attaccando.
Oppure, per ricavare una disuguaglianza utile in questo caso puoi notare che per $x\ge 1$ è $x \ge \sqrt{x}$ e quindi:
$$\log x=\int_1^x \frac{1}{u}\text{d}u < \int_1^x \frac{1}{\sqrt{u}} \text{d}u=2(\sqrt{x}-1)<2\sqrt{x}$$
Per $00$, perciò in definitiva per ogni $x>0$ è $\log x <2\sqrt{x}$. Restringendo la proposizione ai naturali, otteniamo la disuguaglianza di pilloeffe.
infatti la mia non ha il fattore moltiplicativo $2$, io ho semplicemente usato che il rapporto tende a $0$ e quindi è definitivamente più piccolo di $1$. @sellacollesella: Diciamo che, nei casi più comuni, provengono da studi di funzione opportune, da sviluppi di Taylor con resto di Lagrange, da disuguaglianze di lipschitzianità o dal calcolo integrale. Quindi, più che tabularle, uno vede cosa gli serve sul momento e poi lo applica. Per dire, dimostrare che per ogni $x>0$ si ha $\log x < x$ può essere effettuato sia tramite Taylor con Lagrange, sia dallo studio della funzione $f(x)=x-\log x$.
Oppure, dato che $\text{arctan}$ è lipschitziana con costante di Lipschitz $L=1$, significa che per ogni $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ è $|\arctan x_1-\arctan x_2| \le |x_1-x_2|$. Dall'arbitrarietà di $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ potresti trovare una disuguaglianza efficace per il problema che stai attaccando.
Oppure, per ricavare una disuguaglianza utile in questo caso puoi notare che per $x\ge 1$ è $x \ge \sqrt{x}$ e quindi:
$$\log x=\int_1^x \frac{1}{u}\text{d}u < \int_1^x \frac{1}{\sqrt{u}} \text{d}u=2(\sqrt{x}-1)<2\sqrt{x}$$
Per $0
Grazie infinite a tutti dell'aiuto!
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@sellacollesella: Prego! Alla fine è poca roba, se ti interessa approfondire qualsiasi cosa di analisi I o II ti consiglio l'archivio didattico del prof. Gobbino; è pieno di videolezioni e, secondo me, spiega davvero bene. Chiaramente ti consiglio di studiare direttamente da quelle per il corso di laurea in matematica, avendo tu già dato gli esami.
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