Carattere di una serie numerica particolare
Salve a tutti, mi sono da poco iscritto al forum e il sito mi è stato parecchio utile per capire alcuni concetti, quindi ringrazio infinitamente.
Oggi all'esame mi è capitata questa serie numerica che non sono riuscito a risolvere
$ sum_(n = 1\ldots) (e^(1/n^2) cos(1/n) ) ^(n^3) $
Avevo pensato di applicare il criterio del confronto, ma a dire la verità non mi è mai stato abbastanza chiaro...
La mia idea era questa, confrontare quella sommatoria per quest'altra :
$ sum_(n = 1\ldots) (1/2e^(1/n^2) cos(1/n) ) ^(n^4)$
Però mi sa che non va bene, perché anche se è più piccola la serie converge a 0 e il teorema non è valido.
Applicando quello della radice il limite a + infinito tende a 1 e non so nulla.
Altrimenti un'altra idea era il confronto asintotico siccome li c'è 1/n, qualcuno avrebbe qualche suggerimento per risolvere questo esercizio?
Ringrazio anticipatamente e buon inizio settimana a tutti.
Oggi all'esame mi è capitata questa serie numerica che non sono riuscito a risolvere
$ sum_(n = 1\ldots) (e^(1/n^2) cos(1/n) ) ^(n^3) $
Avevo pensato di applicare il criterio del confronto, ma a dire la verità non mi è mai stato abbastanza chiaro...
La mia idea era questa, confrontare quella sommatoria per quest'altra :
$ sum_(n = 1\ldots) (1/2e^(1/n^2) cos(1/n) ) ^(n^4)$
Però mi sa che non va bene, perché anche se è più piccola la serie converge a 0 e il teorema non è valido.
Applicando quello della radice il limite a + infinito tende a 1 e non so nulla.
Altrimenti un'altra idea era il confronto asintotico siccome li c'è 1/n, qualcuno avrebbe qualche suggerimento per risolvere questo esercizio?
Ringrazio anticipatamente e buon inizio settimana a tutti.
Risposte
Hai visto se la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta?
La condizione dovrebbe essere che il limite che tende a più infinito della successione deve essere uguale a 0, cioè deve essere infinitesima. Ma non vedo come possa aiutarmi questa cosa visto che il limite fa la forma indeterminata 1 alla infinito... sinceramente non mi viene in mente come risolverlo al momento.
$\lim_{n \rightarrow +\infty}
(e^{1/n^2}\cos(1/n))^(n^3)=+\infty$ secondo wolfram
(e^{1/n^2}\cos(1/n))^(n^3)=+\infty$ secondo wolfram
Quindi di conseguenza la serie diverge?
Yes
Ok grazie mille, adesso sta solo a capire come risolvere quel limite e farlo venire +infinito 
Se lo scrivi così $\lim_{n -> +infty} e^n*(cos(1/n))^(n^3)$ e poi passi ai logaritmi così $lim_{n -> +infty} ln(e^n*(cos(1/n))^(n^3))=lim_{n -> +infty} n*ln(e)+n^3*ln(cos(1/n))=$
$=lim_{n -> +infty} n+n^3*ln(cos(1/n))$ dovrebbe venire ... mi pare ...
Cordialmente, Alex
$=lim_{n -> +infty} n+n^3*ln(cos(1/n))$ dovrebbe venire ... mi pare ...
Cordialmente, Alex
Non hai ancora tolto l'indeterminazione, Alex. $cos (1/n)$ è più piccolo di $1$ quindi il logaritmo è negativo.
Niente, non penso ci sia altra strada se non sviluppare il coseno al secondo ordine.
Niente, non penso ci sia altra strada se non sviluppare il coseno al secondo ordine.
Ciao Alex,forse ha ragione dissonance, anche perché aggiungere li quel logaritmo non penso sia molto corretta come cosa...
In effetti con gli sviluppi di Taylor potrebbe venire, se applico una sostituzione 1/n = y il limite che verrà fuori tenderà a 0 e quindi le condizioni ci sono tutte.
Proverò a farlo e posterò la soluzione qui appena finito
In effetti con gli sviluppi di Taylor potrebbe venire, se applico una sostituzione 1/n = y il limite che verrà fuori tenderà a 0 e quindi le condizioni ci sono tutte.
Proverò a farlo e posterò la soluzione qui appena finito
Chissa perché mi ero convinto che il coseno al minimo avrebbe fatto $1$ quindi tutto positivo ... 
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