Carattere di una serie numerica

[Albert Wesker 27]

Buongiorno a tutti. Volevo proporvi questo esercizio.

Determinare il carattere della serie

$ sum 1/(ln (ln n)^(ln(ln n))) $

Noto che la serie è a termini positivi. Dunque o converge o diverge e $+oo$. Il termine generico della serie tende a $0$ e dunque la condizione necessaria per la convergenza è rispettata. Ho provato ad applicare il criterio della radice ma il limite della radice ennesima del termine generico della serie fa $1$ e dunque il teorema non mi aiuta. Suggerimenti? Grazie

[Giuly191]

Per provare che diverge (perchè è così) se non mi sbaglio non c'è altro modo che usare il criterio di condensazione.
In alternativa puoi provare qualche minorazione, che valga definitivamente, con qualche serie divergente.

[Albert Wesker 27]

In realtà fra i risultati visti a lezione non comparirebbe il criterio di condensazione ma leggendo in vari testi vedo che dove compaiono funzioni logaritmiche il criterio è solitamente utile. Potresti farmi vedere come procedere nei primi passaggi dato che non ho mai visto il criterio di Cauchy??

[Giuly191]

In sintesi quel criterio ti dice che una serie a termini positivi converge se e solo se converge la sua serie condensata $sum_ (n=0)^(+oo) 2^n a_(2^n)$, vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy.
Nel nostro caso la serie condensata è $ sum_(n) 2^n / (log log (2^n) )^2 $, se provi che questa diverge sei a posto.
Ti consiglio vivamente di usare le proprietà dei logaritmi, non è difficile.

[Albert Wesker 27]

Applico il criterio di condensazione e studio la serie $ sum_(n) 2^n / (log log (2^n) )^2 = sum_(n) 2^n / (log (nln2) )^2$.

Noto che $2^n / (log (nln2) )^2 >= 0 AA n in NN $. Dato che la nuova serie è a termini positivi, posso utilizzare il criterio della radice e calcolare

$ lim_(n -> oo) (2^n / (log (nln2) )^2)^(1/n)= lim_(n -> oo) 2/e^(2/n*(ln(ln(nln2))))=2>1 $. Per il criterio della radice $ sum_(n) 2^n / (log (nln2) )^2$ diverge e per il criterio di condensazione la serie di partenza diverge.

[Giuly191]

Mi sembra filare, anche se ho qualche perplessità sul fatto che il termine generale della serie condensata non sia nemmeno infinitesimo (al che mi sorge il dubbio che magari qualche ipotesi di applicabilità del criterio di Cauchy non sia rispettata), ma penso comunque sia corretto. (In pratica non serviva nemmeno il criterio della radice per provare la divergenza della condensata).
Ad ogni modo se ho detto qualche fesseria presto qualcuno mi correggerà, spero!

[Albert Wesker 27]

Hai ragione! La successione condensata non rispetta la condizione necessaria per la convergenza e dunque la serie diverge. Vedendo nel web, mi sembra che le ipotesi per applicare il c. di condensazione siano tutte soddisfatte ma non posso esserne sicuro date che a lezione non abbiamo visto questo criterio. Ti ringrazio davvero molto

Se qualcuno trovasse qualche errore oppure una soluzione che non coinvolga Cauchy, non esiti a postare!

[Giuly191]

Non ho nessun dubbio sul fatto che quella serie diverga e che l'unica alternativa al criterio di condensazione sia minorare il termine generale con quello di una serie divergente (criterio del confronto se vuoi).
Il dubbio che ho riguarda solo la consistenza della dimostrazione su cui ti ho indirizzato.
Questo giusto per mettere in chiaro quali potrebbero essere eventuali problemi

[Sk_Anonymous]

Ho combattuto contro una serie simile qui. Vedi se ti può essere di qualche aiuto.

[Seneca1]

"Giuly19":Non ho nessun dubbio sul fatto che [...] l'unica alternativa al criterio di condensazione sia minorare il termine generale con quello di una serie divergente (criterio del confronto se vuoi).

Non sono convinto di questo... Esiste per esempio un criterio necessario per la convergenza di serie a termini positivi che, sotto qualche condizione di regolarità del termine generale, stabilisce il seguente fatto: Se $sum a_n$ converge necessariamente $a_n * n -> 0$ per $n -> +oo$.

In questo caso, supponendo che la serie sia convergente, con la sostituzione $ln(n) = k$, si ha che deve essere $lim_(k -> +oo) e^k/(ln(k))^ln(k) = 0$. Tuttavia questo limite è $+oo$ e quindi...

EDIT: http://www.matematicamente.it/forum/criterio-necessario-di-convergenza-per-le-serie-t74429-10.html