Carattere di una serie numerica.
Salve ragazzi... ho bisogno di studiare il carattere della seguente serie:
$ sumnlog((e^(1/n)+e^(-1/n))/2) $
come prima operazione, dato che si tratta di una serie a termini definitivamente positivi, passo a studiare il limite del termine generale... e qui sorge il problema:
$ lim_(n) nlog((e^(1/n)+e^(-1/n))/2) $
ho cercato di fare così... ma quel $ 2 $ al denominatore mi rovina i piani:
$ lim_(n) nlog[(e^(1/n)((1+e^(-2/n))/2)] = $
$ lim_(n) n [loge^(1/n)+ log((1+e^(-2/n))/2)] = $
da qui non riesco a continuare... il primo pezzo è praticamente uguale a $1$, mentre il secondo pezzo è molto simile al limite notevole che conosco per il logaritmo:
$ lim_(x -> 0) (log(1+y))/y $
ma non ci riesco
$ sumnlog((e^(1/n)+e^(-1/n))/2) $
come prima operazione, dato che si tratta di una serie a termini definitivamente positivi, passo a studiare il limite del termine generale... e qui sorge il problema:
$ lim_(n) nlog((e^(1/n)+e^(-1/n))/2) $
ho cercato di fare così... ma quel $ 2 $ al denominatore mi rovina i piani:
$ lim_(n) nlog[(e^(1/n)((1+e^(-2/n))/2)] = $
$ lim_(n) n [loge^(1/n)+ log((1+e^(-2/n))/2)] = $
da qui non riesco a continuare... il primo pezzo è praticamente uguale a $1$, mentre il secondo pezzo è molto simile al limite notevole che conosco per il logaritmo:
$ lim_(x -> 0) (log(1+y))/y $
ma non ci riesco
Risposte
prova a dimostrare che,per $x rarr 0$,$ln((e^x+e^(-x))/2)$ è asintotico ad $x^2$
L'argomento del logaritmo è la definizione di una funzione elementare, tra le altre cose.
Ragazzi sono riuscito a venirne a capo...
$ lim_(n) n [loge^(1/n)+ log((1+e^(-2/n))/2)]= $
$ lim_(n) 1 + nlog((1+e^(-2/n))/2)= $
$ lim_(n) 1 + (log((1+e^(-2/n))/2))/(1/n)= $
$ lim_(n) 1 + (log((2+e^(-2/n)-1)/2))/(1/n)= $
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/(1/n)= $
Arrivati a questo punto ho che $ (e^(-2/n)-1)/2 -> 0 $ quando $ n->+oo $ e dunque posso ricondurmi al limite notevole precedente semplicemente moltiplicando e dividendo per $ (e^(-2/n)-1)/2 $ e poi per $-1$, sfruttando l'altro limite notevole con la funzione esponenziale. Quindi:
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/(1/n)= $
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/((e^(-2/n)-1)/2)(e^(-2/n)-1)/(2/n)= $
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/((e^(-2/n)-1)/2)(e^(-2/n)-1)/((-2)/n)(-1)=0 $
quindi tutti la seconda parte della somma va a -1 e dunque tutti va a 0!!!
$ lim_(n) n [loge^(1/n)+ log((1+e^(-2/n))/2)]= $
$ lim_(n) 1 + nlog((1+e^(-2/n))/2)= $
$ lim_(n) 1 + (log((1+e^(-2/n))/2))/(1/n)= $
$ lim_(n) 1 + (log((2+e^(-2/n)-1)/2))/(1/n)= $
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/(1/n)= $
Arrivati a questo punto ho che $ (e^(-2/n)-1)/2 -> 0 $ quando $ n->+oo $ e dunque posso ricondurmi al limite notevole precedente semplicemente moltiplicando e dividendo per $ (e^(-2/n)-1)/2 $ e poi per $-1$, sfruttando l'altro limite notevole con la funzione esponenziale. Quindi:
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/(1/n)= $
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/((e^(-2/n)-1)/2)(e^(-2/n)-1)/(2/n)= $
$ lim_(n) 1 + log(1+(e^(-2/n)-1)/2)/((e^(-2/n)-1)/2)(e^(-2/n)-1)/((-2)/n)(-1)=0 $
quindi tutti la seconda parte della somma va a -1 e dunque tutti va a 0!!!
ammesso che tutti i tuoi calcoli siano giusti(non li ho controllati),tu hai semplicemente verificato la condizione necessaria per la convergenza : quindi non ne hai determinato il carattere
"quantunquemente":
ammesso che tutti i tuoi calcoli siano giusti(non li ho controllati),tu hai semplicemente verificato la condizione necessaria per la convergenza : quindi non ne hai determinato il carattere
Infatti non so come uscirne fuori dopo...
Prova col criterio del confronto asintotico con la serie armonica:
ne esce fuori un limite impegnativo ma del quale non è impossibile stabilire la convergenza ad un numero reale non nullo..
Saluti dal web.
ne esce fuori un limite impegnativo ma del quale non è impossibile stabilire la convergenza ad un numero reale non nullo..
Saluti dal web.
"theras":
Prova col criterio del confronto asintotico con la serie armonica:
ne esce fuori un limite impegnativo ma del quale non è impossibile stabilire la convergenza ad un numero reale non nullo..
Saluti dal web.
Come faresti? Con la serei armonica generalizzata col logaritmo?
Porta il fattore $"n"^"2"$ che vien fuori dal criterio del confronto dentro il logaritmo,e ricorda che,se nello stesso intorno si ha $"f(x)" to "1,g(x)" to "+"oo"$,allora in tale intorno avrai,ammessa l'esistenza del limite al II° membro,
$"lim log""f(x)"^"g(x)""=lim[f(x)-1]g(x)"$:
saluti dal web.
$"lim log""f(x)"^"g(x)""=lim[f(x)-1]g(x)"$:
saluti dal web.
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