Carattere di una serie numerica
Salve ragazzi ho un problema con questa serie
$ sum_(n = 1\ldots)^(oo) (2^(1/logn)-1)/root(n)(n) $
Ho riscontrato che è un infinitesimo quindi o è divergente o convergente!
Ho provato ad applicare il criterio degli infinitesimi servendomi di $n^p$ con $p=3/2$ ma il limite è pari a $ oo$ ed è proprio in caso che non dovrebbe trovarsi!
Potete aiutarmi a capire quale criterio è meglio applicare?
Grazie mille in anticipo!
$ sum_(n = 1\ldots)^(oo) (2^(1/logn)-1)/root(n)(n) $
Ho riscontrato che è un infinitesimo quindi o è divergente o convergente!
Ho provato ad applicare il criterio degli infinitesimi servendomi di $n^p$ con $p=3/2$ ma il limite è pari a $ oo$ ed è proprio in caso che non dovrebbe trovarsi!
Potete aiutarmi a capire quale criterio è meglio applicare?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
cominciamo a semplificarci un po' la vita :
da $ lim_(z -> 0) (2^z-1)/z=ln2 $ si ha che il numeratore è asintotico a $ln2cdot1/lnn$ e quindi la serie data ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/(lnn root(n)(n)) $
ti lascio dimostrare che $ lim_(n -> +infty) root(n)(n) =1 $
a questo punto, con questi elementi dovresti essere in grado di arrivare alla soluzione
da $ lim_(z -> 0) (2^z-1)/z=ln2 $ si ha che il numeratore è asintotico a $ln2cdot1/lnn$ e quindi la serie data ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/(lnn root(n)(n)) $
ti lascio dimostrare che $ lim_(n -> +infty) root(n)(n) =1 $
a questo punto, con questi elementi dovresti essere in grado di arrivare alla soluzione
Come poni la sostituzione?
spero di aver afferrato la domanda
ho posto $z=1/(lnn)$
se $n rarr +infty$ allora $zrarr0$
ho posto $z=1/(lnn)$
se $n rarr +infty$ allora $zrarr0$
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