Carattere di una Serie numeria e Integrale improprio
Salve a tutti, mi chiamo Stefano e da un pò di tempo vi seguo con interesse. Spesso ho trovato su questo forum molti spunti utili alla soluzione di problemi, ma questa volta sono di fronte a due esercizi a cui non riesco a trovare soluzione, nonostante sia da lunedi a ragionarci! Spero possiate aiutarmi in tempi brevi, dato che lunedi devo discuterli. Vi scrivo le tracce e vi espondo i miei problemi.
Serie : Studiare il carattere della serie al variare di $\alpha \in RR$
$\sum_{n=0}^\infty\frac{root(3)(n)}{sqrt(n(1+n^\alpha)}$
Per quanto riguarda questa serie, mi sembra abbastanza evidente che vada usato il criterio del confronto asintotico. Cosi facendo, trovo una $b_n$ in funzione di $\alpha$ asintotica alla serie data, ne studio il comportamento al variare di $\alpha$ e risolvo. La radice al denominatore mi ha dato non pochi problemi. Comunque, dopo varie prove, ho trovato che la serie asintotica è
$b_n = \frac{root(3)(n)}{sqrt(n)sqrt(n^(\alpha+1)} $
Studio il limite $a_n/b_n$ e ottengo 1, quindi le due serie hanno lo stesso comportamento. Bene, studio il comportamento di $b_n$ e mi trovo che converge per $\alpha < -7/3$ e diverge per $\alpha >= -7/3$. Provo i risultati e..non mi trovo
Mi sembra (sperimentalmente) che i valori siano opposti, ovvero che diverga per $\alpha < -7/3$ e convega per $\alpha >= -7/3$. Non riesco ad andarne a capo
Integrale improprio di prima specie :
$\int_1^\infty\frac{e^(1/x^2) - e^(1/x)}{sqrt(x)}dx$
Qui invece mi sembra abbastanza evidente che si debba usare daprima una sostituzione. Ho provato di tutto, ho provato $t = e^x , t = e^(1/x)$, ma calcolando il dx e sostituendo, mi trovo sempre davanti a un'altro integrale che non so come affrontare (nemmeno per parti). Ad esempio, usando $ t = e^(1/x) $ ottengo $x = 1/log(t)$ e $dt = -2/t(log(t))^-2$ . Sostituisco e ottengo
$-2\int\frac{y - 1}{(log(t))^2}dt$ e anche usando la linearità dell'integrale, non so davvero come venirne a capo. Non mi sembra nessun integrale immediato.
Ringrazio tutti quelli che posteranno anche solo un suggerimento.
Ciao a tutti
Serie : Studiare il carattere della serie al variare di $\alpha \in RR$
$\sum_{n=0}^\infty\frac{root(3)(n)}{sqrt(n(1+n^\alpha)}$
Per quanto riguarda questa serie, mi sembra abbastanza evidente che vada usato il criterio del confronto asintotico. Cosi facendo, trovo una $b_n$ in funzione di $\alpha$ asintotica alla serie data, ne studio il comportamento al variare di $\alpha$ e risolvo. La radice al denominatore mi ha dato non pochi problemi. Comunque, dopo varie prove, ho trovato che la serie asintotica è
$b_n = \frac{root(3)(n)}{sqrt(n)sqrt(n^(\alpha+1)} $
Studio il limite $a_n/b_n$ e ottengo 1, quindi le due serie hanno lo stesso comportamento. Bene, studio il comportamento di $b_n$ e mi trovo che converge per $\alpha < -7/3$ e diverge per $\alpha >= -7/3$. Provo i risultati e..non mi trovo
Mi sembra (sperimentalmente) che i valori siano opposti, ovvero che diverga per $\alpha < -7/3$ e convega per $\alpha >= -7/3$. Non riesco ad andarne a capo Integrale improprio di prima specie :
$\int_1^\infty\frac{e^(1/x^2) - e^(1/x)}{sqrt(x)}dx$
Qui invece mi sembra abbastanza evidente che si debba usare daprima una sostituzione. Ho provato di tutto, ho provato $t = e^x , t = e^(1/x)$, ma calcolando il dx e sostituendo, mi trovo sempre davanti a un'altro integrale che non so come affrontare (nemmeno per parti). Ad esempio, usando $ t = e^(1/x) $ ottengo $x = 1/log(t)$ e $dt = -2/t(log(t))^-2$ . Sostituisco e ottengo
$-2\int\frac{y - 1}{(log(t))^2}dt$ e anche usando la linearità dell'integrale, non so davvero come venirne a capo. Non mi sembra nessun integrale immediato.
Ringrazio tutti quelli che posteranno anche solo un suggerimento.
Ciao a tutti
Risposte
Nessuno riesce ad aiutarmi?
Per quanto riguarda l'integrale, esso, a meno che non venga richiesto esplicitamente dal testo del problema, non va calcolato esplicitamente.
Piuttosto bisogna stabilire se esso è convergente: ciò si fa sfruttando i classici criteri asintotici di sommabilità (insomma, quelli basati sulla determinazione dell'ordine di infiniesimo/infinito dell'integrando intorno alle sue singolarità). Questi criteri li trovi su un qualunque testo di Analisi I.
Per quanto riguarda la serie, anche lì bisogna fare un confronto asintotico e quindi determinare l'ordine di infinitesimo della successione degli addendi [tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}}$[/tex].
Il tuo ragionamento è quasi giusto, però in [tex]$b_n$[/tex] hai un [tex]$+1$[/tex] di troppo all'esponente.
Se poi vuoi ragionare un po' più semplicemente, basta notare che la successione degli addendi è infinitesima per ogni valore di [tex]$\alpha$[/tex] e che:
- per [tex]$\alpha \geq 0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2} -\frac{1}{3}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}} =\frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}$[/tex];
- per [tex]$\alpha <0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^\frac{1}{6} \sqrt{1+n^\alpha}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{1}{6}$[/tex].
Ricordato che la serie armonica generalizzata [tex]\sum \frac{1}{n^p}[/tex] converge solo per [tex]$p>1$[/tex] e che puoi usare tale risultato per il confronto asintotico, lascio a te concludere.
Piuttosto bisogna stabilire se esso è convergente: ciò si fa sfruttando i classici criteri asintotici di sommabilità (insomma, quelli basati sulla determinazione dell'ordine di infiniesimo/infinito dell'integrando intorno alle sue singolarità). Questi criteri li trovi su un qualunque testo di Analisi I.
Per quanto riguarda la serie, anche lì bisogna fare un confronto asintotico e quindi determinare l'ordine di infinitesimo della successione degli addendi [tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}}$[/tex].
Il tuo ragionamento è quasi giusto, però in [tex]$b_n$[/tex] hai un [tex]$+1$[/tex] di troppo all'esponente.
Se poi vuoi ragionare un po' più semplicemente, basta notare che la successione degli addendi è infinitesima per ogni valore di [tex]$\alpha$[/tex] e che:
- per [tex]$\alpha \geq 0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2} -\frac{1}{3}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}} =\frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}$[/tex];
- per [tex]$\alpha <0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^\frac{1}{6} \sqrt{1+n^\alpha}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{1}{6}$[/tex].
Ricordato che la serie armonica generalizzata [tex]\sum \frac{1}{n^p}[/tex] converge solo per [tex]$p>1$[/tex] e che puoi usare tale risultato per il confronto asintotico, lascio a te concludere.
Innanzitutto grazie mille per la risposta 
Per quanto riguarda l'integrale improprio, ero cosi preso dal risolverlo, dimenticandomi che dovevo usare un criterio
In qualsiasi caso, ora provo e vi faccio sapere
Per quanto riguarda la serie, mi piace molto come hai affrontato il problema. Considerando prima i casi di $\alpha$ è risultato "più semplice". Io invece pensavo di trovarmi prima una serie asintotica in funzione di $1/(n^\alpha)$ e poi studiarmela e di conseguenza avere i valori di convergenza della prima.
Ho però alcuni dubbi sul tuo procedimento e spero me li chiarirai.
Ottima idea quella di montiplicare e dividere per $n^\alpha$ , quello che mi chiedo, è lecito ignorare il termine \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}} nello studio della convergenza? Mi spiego meglio : anche questo termine è in funzione di $\alpha$ , non da quindi contributo all'infinito? La spiegazione che mi sono dato è che per n-> +inf , il temrine va a 1. E' per questo che lo ignori?
Stessa domanda di sopra. Perchè ignori il termine sotto radice? In questo caso è l'unico ad essere in funzione di $\alpha$. La spiegzione che mi sono dato è la stessa di sopra, ovvero essendo $\alpha <0$ il termine va a 1. E' questa la spiegazione?
Grazie mille ancora
Per quanto riguarda l'integrale improprio, ero cosi preso dal risolverlo, dimenticandomi che dovevo usare un criterio
In qualsiasi caso, ora provo e vi faccio sapere Per quanto riguarda la serie, mi piace molto come hai affrontato il problema. Considerando prima i casi di $\alpha$ è risultato "più semplice". Io invece pensavo di trovarmi prima una serie asintotica in funzione di $1/(n^\alpha)$ e poi studiarmela e di conseguenza avere i valori di convergenza della prima.
Ho però alcuni dubbi sul tuo procedimento e spero me li chiarirai.
"gugo82":
- per [tex]$\alpha \geq 0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2} -\frac{1}{3}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}} =\frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}$[/tex];
Ottima idea quella di montiplicare e dividere per $n^\alpha$ , quello che mi chiedo, è lecito ignorare il termine \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}} nello studio della convergenza? Mi spiego meglio : anche questo termine è in funzione di $\alpha$ , non da quindi contributo all'infinito? La spiegazione che mi sono dato è che per n-> +inf , il temrine va a 1. E' per questo che lo ignori?
"gugo82":
- per [tex]$\alpha <0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^\frac{1}{6} \sqrt{1+n^\alpha}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{1}{6}$[/tex].
Stessa domanda di sopra. Perchè ignori il termine sotto radice? In questo caso è l'unico ad essere in funzione di $\alpha$. La spiegzione che mi sono dato è la stessa di sopra, ovvero essendo $\alpha <0$ il termine va a 1. E' questa la spiegazione?
Grazie mille ancora
Allora, ho provato un pò, e mi trovo che la serie converge per $\alpha > 5/3$ e diverge per $\alpha <= 5/3$ . Se sostiuisco però al posto di alfa un qualsiasi valore su derive, la serie converge. Se pongo alfa = 0, diverge. Cosa stò sbagliando? Probabilmente non mi stò rendendo conto di qualcosa di banale.
Per l'integrale, stò provando a maggiorarlo con qualche funzione convergente, o a minorarlo con una divergente, ma non riesco comunque a trovare nessuna funzione che faccia al mio caso. Qualche idea?
Grazie mille
Per l'integrale, stò provando a maggiorarlo con qualche funzione convergente, o a minorarlo con una divergente, ma non riesco comunque a trovare nessuna funzione che faccia al mio caso. Qualche idea?
Grazie mille
"Step8P":
Per quanto riguarda la serie, mi piace molto come hai affrontato il problema. Considerando prima i casi di $\alpha$ è risultato "più semplice". Io invece pensavo di trovarmi prima una serie asintotica in funzione di $1/(n^\alpha)$ e poi studiarmela e di conseguenza avere i valori di convergenza della prima.
Ho però alcuni dubbi sul tuo procedimento e spero me li chiarirai.
[quote="gugo82"]- per [tex]$\alpha \geq 0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2} -\frac{1}{3}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}} =\frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}} \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{\alpha}{2} +\frac{1}{6}$[/tex];
Ottima idea quella di montiplicare e dividere per $n^\alpha$ , quello che mi chiedo, è lecito ignorare il termine \sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}} nello studio della convergenza? Mi spiego meglio : anche questo termine è in funzione di $\alpha$ , non da quindi contributo all'infinito? La spiegazione che mi sono dato è che per n-> +inf , il temrine va a 1. E' per questo che lo ignori?[/quote]
Esatto, lo trascuro proprio per questo!
"Step8P":
[quote="gugo82"]- per [tex]$\alpha <0$[/tex] risulta:
[tex]$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n(1+n^\alpha)}} = \frac{1}{n^\frac{1}{6} \sqrt{1+n^\alpha}}$[/tex],
quindi la successione degli addendi è infinitesima d'ordine [tex]$p=\frac{1}{6}$[/tex].
Stessa domanda di sopra. Perchè ignori il termine sotto radice? In questo caso è l'unico ad essere in funzione di $\alpha$. La spiegzione che mi sono dato è la stessa di sopra, ovvero essendo $\alpha <0$ il termine va a 1. E' questa la spiegazione?[/quote]
Di nuovo esatto!
In generale, quando ragioni asintoticamente, puoi trascurare ogni fattore di un prodotto che tenda ad un limite finito e non nullo.
"Step8P":
Allora, ho provato un pò, e mi trovo che la serie converge per $\alpha > 5/3$ e diverge per $\alpha <= 5/3$ . Se sostiuisco però al posto di alfa un qualsiasi valore su derive, la serie converge. Se pongo alfa = 0, diverge. Cosa stò sbagliando? Probabilmente non mi stò rendendo conto di qualcosa di banale.
Lascia perdere i software: fidati dei tuoi calcoli.
Dopotutto, il pc non puoi portarlo all'esame!
E, ad ogni modo, Mathematica trova divergenza lì dove avevi predetto... Contento?
"Step8P":
Per l'integrale, stò provando a maggiorarlo con qualche funzione convergente, o a minorarlo con una divergente, ma non riesco comunque a trovare nessuna funzione che faccia al mio caso. Qualche idea?
L'integrando è continuo in [tex]$[1,+\infty[$[/tex], quindi gli unici problemi li puoi trovare in [tex]$+\infty$[/tex].
Ma hai:
[tex]$\frac{e^\frac{1}{x^2} -e^\frac{1}{x}}{\sqrt{x}} = e^\frac{1}{x^2} \frac{1-e^{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}}{\sqrt{x}}$[/tex]
[tex]$=e^\frac{1}{x^2} \frac{1-e^{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}\ \frac{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x}}$[/tex]
[tex]$=e^\frac{1}{x^2} \frac{1-e^{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}\ \frac{x-1}{x^2\sqrt{x}}$[/tex]
ed i primi due fattori del prodotto all'ultimo membro sono convergenti (per i limiti notevoli) e quindi trascurabili quando [tex]$x\to +\infty$[/tex], sicché l'integrando ha lo stesso ordine di infinitesimo in [tex]$+\infty$[/tex] della funzione [tex]$\tfrac{x-1}{x^2\sqrt{x}}$[/tex], che è uguale a [tex]$2+\tfrac{1}{2}-1=\tfrac{3}{2}$[/tex]; quindi il tuo integrando è sommabile intorno a [tex]$+\infty$[/tex], perchè infinitesimo d'ordine [tex]$\tfrac{3}{2}>1$[/tex].
"gugo82":
Lascia perdere i software: fidati dei tuoi calcoli.
Dopotutto, il pc non puoi portarlo all'esame!
E, ad ogni modo, Mathematica trova divergenza lì dove avevi predetto... Contento?
Assolutamente. Non si tratta nemmeno della questione esame, è che dal liceo non ho mai fatto matematica (e me ne assumo la piena responsabilità). Ora in meno di un'anno ho recuperato 5 anni di liceo e un'esame intero di analisi I, e devo dire la verità mi sono davvero fatto il culo (passatemi il termine) però ora ho scoperto una materia che mi piace. Purtroppo sono ancora abbastanza inesperto, perchè per quanto conosco la teoria, ragionamenti, formule, ecc, mi manca parecchia esperienza e quindi capita di bloccarmi davanti ad esercizi risolvibili facilmente se si è un pò più smaliziati con la matematica. E' per questo che ho apprezzato davvero i tuoi consigli.
"gugo82":
L'integrando è continuo in [tex]$[1,+\infty[$[/tex], quindi gli unici problemi li puoi trovare in [tex]$+\infty$[/tex].
Ma hai:
[tex]$\frac{e^\frac{1}{x^2} -e^\frac{1}{x}}{\sqrt{x}} = e^\frac{1}{x^2} \frac{1-e^{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}}{\sqrt{x}}$[/tex]
[tex]$=e^\frac{1}{x^2} \frac{1-e^{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}\ \frac{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x}}$[/tex]
[tex]$=e^\frac{1}{x^2} \frac{1-e^{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}\ \frac{x-1}{x^2\sqrt{x}}$[/tex]
ed i primi due fattori del prodotto all'ultimo membro sono convergenti (per i limiti notevoli) e quindi trascurabili quando [tex]$x\to +\infty$[/tex], sicché l'integrando ha lo stesso ordine di infinitesimo in [tex]$+\infty$[/tex] della funzione [tex]$\tfrac{x-1}{x^2\sqrt{x}}$[/tex], che è uguale a [tex]$2+\tfrac{1}{2}-1=\tfrac{3}{2}$[/tex]; quindi il tuo integrando è sommabile intorno a [tex]$+\infty$[/tex], perchè infinitesimo d'ordine [tex]$\tfrac{3}{2}>1$[/tex].
Appena ho visto l'idea di portare fuori $\e^\frac{1}{x^2}$ ho capito dove volevi arrivare, ho provato a svolgerlo, ho controllato con quello che hai postato e mi trovo al 100%
Grazie mille davvero
Prego.
Fa sempre piacere scrivere per aiutare un bravo studente che capisce al volo.
Fa sempre piacere scrivere per aiutare un bravo studente che capisce al volo.
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