Carattere di una serie dubbio su conclusione
devo studiare il carattere di questa serie $ sum_(n = 1)^(oo) ((1 + cos n ) / 3) ^ n $
applicando il criterio della radice devo risolvere questo limite e vedere se viene > 1 (la serie diverge),oppure < 1 ( la serie converge). ma non sono sicuro della mia conclusione.....vi faccio vedere i passaggi e poi vi dico il mio dubbio.
$ lim_(n -> oo) root(n)(((1 + cosn) / 3 )^n) = lim_(n -> oo) (1 + cosn) / 3 = lim_(n -> oo) 1 / 3 + cosn / 3 = 1 / 3 + lim_(n -> oo) cosn / 3 = 1 / 3 + 1 / 3*lim_(n -> oo) cosn $
ma limite del cosn non esiste! al massimo posso dire che il cosn varia tra -1 e +1,dove se vale 1 il risulato del limite è $ 2 / 3 $ altrimenti se vale -1 è 0
il mio dubbio è questo:
visto che il criterio della radice afferma che se esiste questo limite $ lim_(n -> + oo) root(n)(a_n) = L $ se L < 1 la serie converge se L > 1 diverge, nel mio caso posso dire che la serie converge perchè sia se il coseno vale -1 sia se il coseno vale +1 il limite che ottengo è una cosa minore di 1?
grazie!
applicando il criterio della radice devo risolvere questo limite e vedere se viene > 1 (la serie diverge),oppure < 1 ( la serie converge). ma non sono sicuro della mia conclusione.....vi faccio vedere i passaggi e poi vi dico il mio dubbio.
$ lim_(n -> oo) root(n)(((1 + cosn) / 3 )^n) = lim_(n -> oo) (1 + cosn) / 3 = lim_(n -> oo) 1 / 3 + cosn / 3 = 1 / 3 + lim_(n -> oo) cosn / 3 = 1 / 3 + 1 / 3*lim_(n -> oo) cosn $
ma limite del cosn non esiste! al massimo posso dire che il cosn varia tra -1 e +1,dove se vale 1 il risulato del limite è $ 2 / 3 $ altrimenti se vale -1 è 0
il mio dubbio è questo:
visto che il criterio della radice afferma che se esiste questo limite $ lim_(n -> + oo) root(n)(a_n) = L $ se L < 1 la serie converge se L > 1 diverge, nel mio caso posso dire che la serie converge perchè sia se il coseno vale -1 sia se il coseno vale +1 il limite che ottengo è una cosa minore di 1?
grazie!
Risposte
Beh, se non erro il criterio della radice (in una versione più generale), dice che la serie [tex]\sum a_n[/tex] converge assolutamente anche solo se:
[tex]$\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|} <1$[/tex]
(sicché in realtà non c'è bisogno che la successione [tex]$\sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] sia regolare, ma basta che i suoi valori limite non siano troppo grandi); in questo caso il massimo limite è [tex]$\tfrac{2}{3}$[/tex], ergo c'è convergenza assoluta.
Ma va da sé che se non hai mai visto il criterio della radice in questa forma, è un po' difficile giustificare questo metodo.
Tuttavia, la strada migliore per provare la convergenza (assoluta) è maggiorare i valori assoluti degli addendi con una serie geometrica.
Riflettici un po', ci arriverai subito.
[tex]$\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|} <1$[/tex]
(sicché in realtà non c'è bisogno che la successione [tex]$\sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] sia regolare, ma basta che i suoi valori limite non siano troppo grandi); in questo caso il massimo limite è [tex]$\tfrac{2}{3}$[/tex], ergo c'è convergenza assoluta.
Ma va da sé che se non hai mai visto il criterio della radice in questa forma, è un po' difficile giustificare questo metodo.
Tuttavia, la strada migliore per provare la convergenza (assoluta) è maggiorare i valori assoluti degli addendi con una serie geometrica.
Riflettici un po', ci arriverai subito.
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