Carattere di una serie con coseno

[antofilo-votailprof]

Potreste dirmi se sta bene il seguente esercizio?
Purtroppo non ho nessun risultato.
Allora studiare la convergenza di $sum$ $= (cos(pi n))/(n+2)$ per $n>0$
Comincio con l'osservare che posso scrivere il termine generale della serie come $sum$ $= ((-1)^n)/(n+2)$ ,
in quanto si osserva che $cos(pi n) = |1|$, per ogni n naturale.
Pertanto la serie data è a segni alterni.

Studio dapprima la convergenza assoluta, in quanto condizione necessaria per la convergenza semplice.
Osservo che per il termine generale della serie dei moduli vale
$1/(n+2)$ è asintotico a $1/n$ per n che tende ad infinito.
Pertanto dato che $lim (n->infty) (a_n/b_n) = 1$, posso concludere che per il confronto asintotico la serie data non converge assolutamente.
Studio con Leibniz la convergenza semplice.
a. è infinitesima.
b. si studia che è decrescente per ogni n appartenente all'intervallo.
Allora c'è convergenza semplice

[pilloeffe]

Ciao AAnto,

"AAnto":in quanto si osserva che $ cos(\pi n) = |1|$, per ogni n naturale.

Attenzione che è errata... Quella corretta è la seguente:

$ cos(\pi n) = (- 1)^n \implies |cos(\pi n) | = 1 qquad \AA n \in \NN $

[antofilo-votailprof]

Si giusto.
Ma lo studio della serie, a parte questo errore,è esatto?

[Weierstress]

"AAnto":Pultroppo

questo è un errore più grave

Per la convergenza assoluta, puoi benissimo fermarti dopo aver notato l'asintoticità di $|a_n|$ a $1/n$ la cui divergenza è arcinota.

[antofilo-votailprof]

"Weierstress":[quote="AAnto"]Pultroppo

questo è un errore più grave

Per la convergenza assoluta, puoi benissimo fermarti dopo aver notato l'asintoticità di $|a_n|$ a $1/n$ la cui divergenza è arcinota. [/quote]
grazie