Carattere di una serie al variare di $alpha$

[rikk91]

Determinare i valori del parametro α∈ℝ per i quali converge assolutamente la serie
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3) $

io ho riscritto la serie come:
~ $sum_(n=1)^(+oo) 1/(3^(1/n))*(1/n - n^alpha + 1/n^3)$ ~

~ $sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^((1/n)ln3))*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3) $ = $sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^0)*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3)$

con $alpha+3>2 hArr alpha>-1$ quindi la serie diventa:

$-sum_(n=1)^(+oo) (1/n^(-alpha))$ quindi CONVERGE $ hArr -alpha>1 hArr alpha<-1$

Cosa che contraddice quanto detto all'inizio quindi come bisogna fare?!?!
è giusto il procedimento che ho fatto?

[ilbuonuomo-votailprof]

Criterio del confronto asintotico:
la serie converge se converge la serie
$sum (sinh(1/n)-n^a+1/n^3)$ infatti $3^(-1/n)=1$ per n->+inf

Lo sviluppo di sinh(1/n) per n->+inf è:
$1/n - 1/(6n^3) +o(1/n^3)$

Sostituendo lo sviluppo di sinh(1/n) ottieni la serie:
$sum (1/n -1/(6n^3) -n^a +1/n^3)$
o meglio:
$sum ( 1/n +5/(6n^3) -n^a)$

Per a=-1
la serie diventa:
$sum ( 5/(6n^3))$ che è convergente (serie armonica generalizzata: a>1)

Altrimenti se a<-1 la serie è asintotica a
$sum (1/n)$ che diverge
se a>-1 la serie è asintotica a
$sum (n^a)$ che diverge.

Quindi la serie converge assolutamente per a=-1.
Ciao