Carattere di una serie

[shinigami87]

Ciao a tutti!

Sia [tex]\displaystyle H(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{2n}}\binom{n-1}{k-1}^2k^{-2x-2}[/tex]

Si chiede di far vedere, se possibile, che:

1) [tex]\displaystyle H(0)=\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2{4}-\mbox{Li}_2({\frac{1}{4}})[/tex]

2) (Congettura) [tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty}H(x)=\frac{1}{3}[/tex]

[gugo82]

Curiosità: da dove hai preso il problema?

Idee tue?
Cosa sai delle funzioni speciali?

[shinigami87]

Quella formulaccia mi è venuta guardando la (21) di http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html.

Per le funzioni speciali so quello che dice wikipedia e wolfram, nulla di più.

[gugo82]

Ok...
Ma quello che volevo sapere è: questo è un esercizio che stai proponendo perché devi risolverlo o ti serve per qualche altro scopo? O è semplicemente un problema che hai inventato tu e ce lo proponi come tale?

Nel primo caso, considera di proporre almeno le tue idee.
Nel secondo caso, hai già una soluzione? Oppure potremmo girare a vuoto per il resto dei giorni?

[shinigami87]

E' un esercizio che mi serve e al quale sto approcciando anche io per trovarne una soluzione (in particolare al punto 2). Quello che ti posso dire è che il punto 1 è certamente vero come si vede qui