Carattere di una serie
Salve, devo studiare il carattere di questa serie
$ sum_(n = 1)^(oo) (2n+1)/(2^n) $
Io ho fatto così:
La serie è a termini positivi. Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico: $ (2n+1)/(2^n) $ ~ $ (2n)/(2^n) $ per $ n -> +oo $. Applichiamo il criterio del rapporto a quest'ultima
$ (2(n+1))/(2^(n+1)) * (2^n) / (2n) $ = $ (2^(-1) * 2(n+1)) / (2n) = (n+1)/(2n) $. Applicando ancora una volta il criterio del confronto asintotico: $ (n+1)/(2n) $ ~ $n/(2n) = 1/2$
Essendo che il criterio del rapporto ha dato un risultato < 1, la serie dovrebbe convergere.
Vi chiedo se potete dargli un'occhiata e vedere se il procedimento è giusto. In particolare non sono molto sicuro sull'ultima affermazione, perchè ho applicato si il criterio del rapporto ma dopo ho fatto di nuovo l'asintoto, ed 1/2 può essere vista anche come la serie armonica con esponente 1 e quindi la serie $ (n+1)/(2n) $ dovrebbe essere divergente.
Inoltre, esiste un procedimento più veloce per farlo (dato che dovrebbe essere uno degli esercizi base)? Voi come lo fareste?
$ sum_(n = 1)^(oo) (2n+1)/(2^n) $
Io ho fatto così:
La serie è a termini positivi. Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico: $ (2n+1)/(2^n) $ ~ $ (2n)/(2^n) $ per $ n -> +oo $. Applichiamo il criterio del rapporto a quest'ultima
$ (2(n+1))/(2^(n+1)) * (2^n) / (2n) $ = $ (2^(-1) * 2(n+1)) / (2n) = (n+1)/(2n) $. Applicando ancora una volta il criterio del confronto asintotico: $ (n+1)/(2n) $ ~ $n/(2n) = 1/2$
Essendo che il criterio del rapporto ha dato un risultato < 1, la serie dovrebbe convergere.
Vi chiedo se potete dargli un'occhiata e vedere se il procedimento è giusto. In particolare non sono molto sicuro sull'ultima affermazione, perchè ho applicato si il criterio del rapporto ma dopo ho fatto di nuovo l'asintoto, ed 1/2 può essere vista anche come la serie armonica con esponente 1 e quindi la serie $ (n+1)/(2n) $ dovrebbe essere divergente.
Inoltre, esiste un procedimento più veloce per farlo (dato che dovrebbe essere uno degli esercizi base)? Voi come lo fareste?
Risposte
A mio avviso avresti potuto utilizzare direttamente il criterio del rapporto 
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \lim_{n \to +\infty} \frac{2n+3}{2n+1}=\frac{1}{2} < 1$[/tex]
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \lim_{n \to +\infty} \frac{2n+3}{2n+1}=\frac{1}{2} < 1$[/tex]
"Antimius":
A mio avviso avresti potuto utilizzare direttamente il criterio del rapporto
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \lim_{n \to +\infty} \frac{2n+3}{2n+1}=\frac{1}{2} < 1$[/tex]
Ah ecco mi mancava che ci fosse il limite .... ti ringrazio per la disponibilità
Altra serie
$ sum_(n = 3)^(oo) (1/(n^2-n-5)) $
Innanzitutto dobbiamo vedere se la serie è a termini positivi, e ovviamente lo è solo se il denominatore è a termini positivi.
Io ho fatto così:
Risolvendo $n^2-n-5>0$ si ottengono le seguenti soluzioni per intervalli esterni: $ x > (1+sqrt(21))/2 $ oppure $ x < (1-sqrt(21))/2 $
All'esame ovviamente non ho calcolatrice per calcolare $sqrt(21)$.
Però posso dire che $sqrt(21) < sqrt(25)=5$ (aumentando l'argomento, il risultato della radice aumenta, essendo la funzione radice quadrata crescente). Quindi $ (1+sqrt(25))/2 > (1+sqrt(21))/2 $ (aumentando il dividendo, il quoziente aumenta, perchè deve essere un quoziente più grande moltiplicato per lo stesso divisore a dare un dividendo più grande). Ora $ (1+sqrt(25))/2 = 3 $ quindi $ 3 > (1+sqrt(21))/2 $.
Vediamo invece la seconda soluzione, quella con il meno. Posso dire che $sqrt(21) > sqrt(16)$ e quindi $ (1-sqrt(21))/2 < (1-sqrt(16))/2 = -3/2$ e siccome la serie "parte" da 3 possiamo ignorare questa soluzione.
Ritornando alla prima soluzione, dato che se $n > (1+sqrt(21))/2 $ allora la funzione è positiva, a maggior ragione se $n>=3$ (l'uguale è perchè il 3 è strettamente maggiore della frazione precedente) la funzione sarà positiva. Quindi la serie, poichè "parte" da 3, è tutta a termini positivi.
Possiamo dunque applicare il criterio del confronto asintotico:
$ sum_(n = 3)^(oo) (1/(n^2-n-5)) $ ~ $ sum_(n = 3)^(oo) (1/(n^2)) $. Quest'ultima è una serie armonica che è convergente perchè l'esponente è >1. Quindi la serie di partenza è convergente perchè asintotica a una serie convergente.
Le domande sono sempre le stesse: Tutto giusto? C'è un modo più veloce per farlo? (in particolare se c'è un modo più veloce per accorgersi subito che il denominatore è sempre positivo senza calcolatrice!)
EDIT: l'ho modificato un po' per renderlo più leggibile
$ sum_(n = 3)^(oo) (1/(n^2-n-5)) $
Innanzitutto dobbiamo vedere se la serie è a termini positivi, e ovviamente lo è solo se il denominatore è a termini positivi.
Io ho fatto così:
Risolvendo $n^2-n-5>0$ si ottengono le seguenti soluzioni per intervalli esterni: $ x > (1+sqrt(21))/2 $ oppure $ x < (1-sqrt(21))/2 $
All'esame ovviamente non ho calcolatrice per calcolare $sqrt(21)$.
Però posso dire che $sqrt(21) < sqrt(25)=5$ (aumentando l'argomento, il risultato della radice aumenta, essendo la funzione radice quadrata crescente). Quindi $ (1+sqrt(25))/2 > (1+sqrt(21))/2 $ (aumentando il dividendo, il quoziente aumenta, perchè deve essere un quoziente più grande moltiplicato per lo stesso divisore a dare un dividendo più grande). Ora $ (1+sqrt(25))/2 = 3 $ quindi $ 3 > (1+sqrt(21))/2 $.
Vediamo invece la seconda soluzione, quella con il meno. Posso dire che $sqrt(21) > sqrt(16)$ e quindi $ (1-sqrt(21))/2 < (1-sqrt(16))/2 = -3/2$ e siccome la serie "parte" da 3 possiamo ignorare questa soluzione.
Ritornando alla prima soluzione, dato che se $n > (1+sqrt(21))/2 $ allora la funzione è positiva, a maggior ragione se $n>=3$ (l'uguale è perchè il 3 è strettamente maggiore della frazione precedente) la funzione sarà positiva. Quindi la serie, poichè "parte" da 3, è tutta a termini positivi.
Possiamo dunque applicare il criterio del confronto asintotico:
$ sum_(n = 3)^(oo) (1/(n^2-n-5)) $ ~ $ sum_(n = 3)^(oo) (1/(n^2)) $. Quest'ultima è una serie armonica che è convergente perchè l'esponente è >1. Quindi la serie di partenza è convergente perchè asintotica a una serie convergente.
Le domande sono sempre le stesse: Tutto giusto? C'è un modo più veloce per farlo? (in particolare se c'è un modo più veloce per accorgersi subito che il denominatore è sempre positivo senza calcolatrice!)
EDIT: l'ho modificato un po' per renderlo più leggibile
up! Qualcuno sa se c'è un modo più rapido per dimostrare che quel denominatore è sempre positivo??
Beh, non che a risolvere una disequazione di secondo grado e ad approssimare un radicale ci si metta tanto tempo...
Ad ogni modo, potresti provare per induzione.
Ah, e nota che il denominatore non è "sempre" positivo, perchè per [tex]$n=0,1,2$[/tex] il numero [tex]$n^2-n-5$[/tex] è negativo.
Ad ogni modo, potresti provare per induzione.
Ah, e nota che il denominatore non è "sempre" positivo, perchè per [tex]$n=0,1,2$[/tex] il numero [tex]$n^2-n-5$[/tex] è negativo.
Ulteriore alternativa: consideriamo $f(n)=n^2-n-5$, $n in NN-{0,1,2}$
Si può dimostrare velocemente che $AA n in NN-{0,1,2}$ si ha $f(n)
Dunque, poichè $f(3)=1$, si ha che $f(n)>=1>0$ $AA n in NN-{0,1,2}$
Si può dimostrare velocemente che $AA n in NN-{0,1,2}$ si ha $f(n)
Dunque, poichè $f(3)=1$, si ha che $f(n)>=1>0$ $AA n in NN-{0,1,2}$
puoi applicare direttamente il criterio del rapporto infatti troveresti che
$lim_n [(2(n+1) + 1)/2^(n+1)] (2^n)/(2n+1)= lim_n (2n+3)/[2(2n + 1)] = lim_n (2n/4n) = 1/2 <1$ per cui la serie converge....
$lim_n [(2(n+1) + 1)/2^(n+1)] (2^n)/(2n+1)= lim_n (2n+3)/[2(2n + 1)] = lim_n (2n/4n) = 1/2 <1$ per cui la serie converge....
"Ma.Gi.Ca. D":
puoi applicare direttamente il criterio del rapporto infatti troveresti che
$lim_n [(2(n+1) + 1)/2^(n+1)] (2^n)/(2n+1)= lim_n (2n+3)/[2(2n + 1)] = lim_n ((2n)/(4n) = 1/2 <1$ per cui la serie converge....
non avevo visto che eravate passati oltre
... scusatemi ...
per la seconda serie non ho capito se devi necessariamente dimostrare che sia una serie a termini positivi o se è funzionale al criterio da utilizzare, cmq a primo acchitto mi verrebbe da usare il criterio degli infinitesimi con $p = 2$ il limite verrebbe $!= +oo$ e la serie quindi converge...
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