Carattere di una serie
Ciao a tutti! Sto studiando le serie numeriche e non sono certa di aver capito come ragionare. Ho alcuni esercizi che mi chiedono si stabilire il carattere di alcune serie usando il criterio del confronto e del confronto asintotico. Prendiamo, ad esempio, questa serie:
$ sum_(n=1)^(oo) (e^(1/sqrtn)-1) $ .
Ho pensato di ragionare così, ma non credo sia giusto. Allora, $ 1/sqrtn<=1/n $ $ => $ $ e^(1/sqrtn) <= e^(1/n) $ $ => $ $ e^(1/sqrtn)-1 <= e^(1/n) $ . Poiché $ 1/n $ converge, converge anche la serie.
Non credo che usare il metodo di confronto in questo modo funzioni... Anche Wolframalpha dice che la serie non converge. Ma allora come faccio?
Ah, ho anche pensato di ricorrere al confronto asintotico e far notare che per ogni $r>1$ il $ lim_(n rarr oo) n^r(e^(1/sqrtn)-1) = oo $ . Così facendo posso dimostrare che non converge... Ma diverge o oscilla?
$ sum_(n=1)^(oo) (e^(1/sqrtn)-1) $ .
Ho pensato di ragionare così, ma non credo sia giusto. Allora, $ 1/sqrtn<=1/n $ $ => $ $ e^(1/sqrtn) <= e^(1/n) $ $ => $ $ e^(1/sqrtn)-1 <= e^(1/n) $ . Poiché $ 1/n $ converge, converge anche la serie.
Non credo che usare il metodo di confronto in questo modo funzioni... Anche Wolframalpha dice che la serie non converge. Ma allora come faccio?
Ah, ho anche pensato di ricorrere al confronto asintotico e far notare che per ogni $r>1$ il $ lim_(n rarr oo) n^r(e^(1/sqrtn)-1) = oo $ . Così facendo posso dimostrare che non converge... Ma diverge o oscilla?
Risposte
"Vegastar":
Poiché $ 1/n $ converge, converge anche la serie.
Se con questo intendi che la serie di termine generale [tex]\displaystyle \frac{1}{n}[/tex] converge, beh ti sbagli, non lo fa! Si chiama serie armonica, è abbastanza famosa ed esistono numerose dimostrazioni (certamente più di 3) del fatto che non converga.
In ogni caso io svilupperei in serie (di McLaurin) [tex]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex] così il tuo termine generale diventa, a meno di o piccoli che mandiamo via proprio per aintoticità [tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex] che appunto è definitivamente maggiore di [tex]\displaystyle \frac{1}{n}[/tex] che diverge, dunque diverge per il teorema del confronto.
In ogni caso come fai a chiedere a wolfram se una serie converge o no? Qual'è il sito?
Allora, se ho capito bene devo fare
$ e^(1/sqrtn)-1 = 1+1/sqrtn+o(n)-1 = 1/sqrtn + o(x) $ .
$ 1/sqrtn >= 1/n $ e quindi diverge. Giusto?
$ e^(1/sqrtn)-1 = 1+1/sqrtn+o(n)-1 = 1/sqrtn + o(x) $ .
$ 1/sqrtn >= 1/n $ e quindi diverge. Giusto?
Esatto. Chiaramente nel compito motivi perchè quella serie è sviluppabile quando n tende a +infinito, perchè puoi mandare al diavolo gli o piccoli, e perchè essendo maggiore dell'armonica diverge. Però in sostanza si, è tutto qui... O almeno io avrei fatto così!
Grazie mille! Mi sei stato di grandissimo aiuto 
Ps: Su Wolfram scrivo sum_(n=1)^(inf) (a_n), con a_n la serie in questione, e scrive se converge o meno
Ps: Su Wolfram scrivo sum_(n=1)^(inf) (a_n), con a_n la serie in questione, e scrive se converge o meno
Scusa, ho ancora un problema.
Come posso lavorare sulla serie $sum_(n=1)^(oo) (sqrt(n+1)-sqrtn)$?
Ho pensato di fare $lim_(n rarr oo) n^r(sqrt(n+1)-sqrtn)$ ponendo $r=1/2$. Però ottengo $lim_(n rarr oo) (sqrt(n^2+n)-1)$ che diverge e quindi non cambia il discorso iniziale...
Come posso lavorare sulla serie $sum_(n=1)^(oo) (sqrt(n+1)-sqrtn)$?
Ho pensato di fare $lim_(n rarr oo) n^r(sqrt(n+1)-sqrtn)$ ponendo $r=1/2$. Però ottengo $lim_(n rarr oo) (sqrt(n^2+n)-1)$ che diverge e quindi non cambia il discorso iniziale...
Un' ultima nota sugli o piccoli. Tu una volta hai scritto [tex]o(n)[/tex] e un altra volta [tex]o(x)[/tex]. La scrittura corretta sarebbe [tex]o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}})[/tex]. Questo perchè stai guardando l'asintoticità in +infinito, mentre di solito se ometti il pedce si considera in 0, e inoltre si ha che qualcosa è trascurabile rspetto a [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex] e non rispetto a [tex]n[/tex]. Era chiarissimo ciò che intendevi, e ci siamo capiti, ma un professore puntiglioso potrebbe correggerti, e non ne vale la pena per dettagli del genere.
Certo, ho capito! Grazie
Riguardo alla seconda serie si vede a occhio che è telescopica. Cerca di riscriverla in modo adeguato e dimostri subito che diverge! Oppure ancora applica l'asintoticità. Razionalizza e poi vedi a cos'è asintotico il denominatore! Troverai un "vecchio amico", già conoscuito dall'altra serie.
PS non ho idea di quale criterio sia quello che tu usi, con il limite, ma in tutte le serie che ho incontrato ne ho sempre tranquillamente fatto a meno! Cioè, esiste sempre un altro modo.
PS non ho idea di quale criterio sia quello che tu usi, con il limite, ma in tutte le serie che ho incontrato ne ho sempre tranquillamente fatto a meno! Cioè, esiste sempre un altro modo.
Non abbiamo studiato le serie telescopiche. Ho visto ora su Wikipedia, quindi non sapevo come funzionasse la cosa! Grazie mille ancora
Sono semplicemente serie dove per magia si cancella tutto e riesci a scrivere facilmente la ridotta n-esima. Poi fai il limite della ridotta n-esima per n tendente a +infinito e trovi o che diverge oppure che converge, trovandone anche la somma!
Scusate, ho ancora un problemino e vi chiedo se potete aiutarmi ancora! Data la serie:
$ sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(n)-1)$ .
Allora, mi si pone questo problema:
$ lim_(n rarr oo) (root(n)(n)-1)=0 $ quindi mi trovo nel caso dubbio, se la serie converge o diverge. Se uso lo sviluppo di McLaurin ottengo comunque un limite che tende a $0$. Pensavo di usare il criterio del confronto ma come??? Aiuto, per favore!:)
$ sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(n)-1)$ .
Allora, mi si pone questo problema:
$ lim_(n rarr oo) (root(n)(n)-1)=0 $ quindi mi trovo nel caso dubbio, se la serie converge o diverge. Se uso lo sviluppo di McLaurin ottengo comunque un limite che tende a $0$. Pensavo di usare il criterio del confronto ma come??? Aiuto, per favore!:)
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