Carattere di una serie

[TheBestNapoli]

devo studiare il carattere di questa serie:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(1-cos((root(4)(n-sen(n)))/(n+sen(n))))$
ho verificato che pre $n->+\infty$ l'argomento del coseno tende a 0... quindi dovrei applicare l'asintoticità $1-cos[f(x)]\approx1/2[f(x)]^2$???
o c'è un altra strada più semplice da fare? grazi mille

[faximusy]

noto che $cosx\sim 1-x^2/2$, mi pare che non ci sia una strada piu semplice

[TheBestNapoli]

a questo punto dovrebbe essere:
$1/2\sum_(n=1)^(+\infty)(sqrt(n-sen(n)))/(n+sen(n))^2$
posso fare questo passaggio???
$1/2\sum_(n=1)^(+\infty)(n(1-(sen(n))/n))^(1/2)/(n(1+(sen(n))/n))^2\approx1/2\sum_(n=1)^(+\infty)n^(1/2)/n^2=1/2\sum_(n=1)^(+\infty)1/n^(3/2)$ converge
grazie dell'attenzione

[faximusy]

Quando non sei sicuro se puoi fare o meno un passaggio prova ad inserire qualche valore al posto di $n$ e ad assicurarti che non cambi nulla

[TheBestNapoli]

nel primo passaggio ho messo in evidenza la $n$...poi ho considerato:
$lim_(n->+\infty)(sen(n))/n=0$
da cui poi ho ricavato l'asintoticità del secondo membro... credo sia giusto... non ho capito bene quale $n$ considerare per sostituire e verificare se il passaggio è lecito... un aiutino?

[faximusy]

no, dico qualunque $n$, cioè provi se non cambia il valore prima e dopo la modifica, ma più che altro era un suggerimento generico