Carattere di una serie
$\sum_(n=1)^(+\infty)(n^3(1-cos(1/(n^2))))/(sen(n\pi+(\pi)/2))$
Salve a tutti! Volevo studiare il carattere di questa serie ma non so proprio come iniziare... premetto ke ho iniziato a fare le serie da poco e ke non sono molto pratico... qualcuno di voi gentilmente potrebbe dirmi almeno come iniziare? Grazie mille a tutti!
Salve a tutti! Volevo studiare il carattere di questa serie ma non so proprio come iniziare... premetto ke ho iniziato a fare le serie da poco e ke non sono molto pratico... qualcuno di voi gentilmente potrebbe dirmi almeno come iniziare? Grazie mille a tutti!
Risposte
..............prova un po' con il criterio di Leibniz
.....saluti!..holmes
.....saluti!..holmes
Riesci ad esprimere [tex]\displaystyle\sin\left(n \pi +\frac{\pi}{2}\right)[/tex] in modo diverso? Magari sfruttando:
[tex]\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)\quad\forall \alpha\in\mathbb{R}[/tex]
[tex]\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)\quad\forall \alpha\in\mathbb{R}[/tex]
.....non fa +1 o -1 a seconda di n?(non sono mai sicuro su sto conto)
io studierei il limite sostituendi n con x reale, poi $1/x^2$ con $t$, ....per t->0.............e poi la monotonia
saluti
io studierei il limite sostituendi n con x reale, poi $1/x^2$ con $t$, ....per t->0.............e poi la monotonia
saluti
Prima di ingarbugliarsi in calcoli non sarebbe una cattiva idea di provare qualche criterio di convergenza (condizione necessaria per la convergenza, convergenza assoluta... ecc...)
potrebbero riservare qualche sorpresa
potrebbero riservare qualche sorpresa
Sì 
[tex]\sin\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)= \cos(n \pi) = (-1)^n\quad\forall n\in \mathbb{N}[/tex].
Bisognerebbe mostrare che [tex]n^3(1-\cos(\frac{1}{n^2}))[/tex] sia effettivamente non negativa (è pacifica come prova), di modo che si possa concludere che il termine generale della serie è a segni alterni. A quel punto procederei con Liebnitz, comunque il mio intervento non era riferito a te ma a TheBestNapoli
[tex]\sin\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)= \cos(n \pi) = (-1)^n\quad\forall n\in \mathbb{N}[/tex].
Bisognerebbe mostrare che [tex]n^3(1-\cos(\frac{1}{n^2}))[/tex] sia effettivamente non negativa (è pacifica come prova), di modo che si possa concludere che il termine generale della serie è a segni alterni. A quel punto procederei con Liebnitz, comunque il mio intervento non era riferito a te ma a TheBestNapoli
io provo questa: per l'ipotesi del criterio per le serie alterne
$\lim_{n \to \infty}n^3(1-cos(1/n^2))=\lim_{x \to \infty}x^3(1-cos(1/x^2))=\lim_{t \to 0}(1/t^(1/2))^3(1-cos(t))=\lim_{t \to 0}(1/t^(1/2))^3(1-cos(t))(1+cos(t))/(1+cos(t))=\lim_{t \to 0}(sen^2(t))/t^2)t^{1/2}*(1/(1+cos(t)))=0$
poi la monotonia!
$\lim_{n \to \infty}n^3(1-cos(1/n^2))=\lim_{x \to \infty}x^3(1-cos(1/x^2))=\lim_{t \to 0}(1/t^(1/2))^3(1-cos(t))=\lim_{t \to 0}(1/t^(1/2))^3(1-cos(t))(1+cos(t))/(1+cos(t))=\lim_{t \to 0}(sen^2(t))/t^2)t^{1/2}*(1/(1+cos(t)))=0$
poi la monotonia!
Allora... innanzitutto grazie a tutti per il vostro intervento... però non ci sto capendo molto 
... abbiamo concluso ke la serie è a segni alterni, poichè $sen(n\pi+(\pi)/2)=cos(n\pi)=(-1)^n$, e inoltre $n^3(1-cos(1/(n^2)))$ non è mai negativa, poichè dato ke il coseno è compreso tra -1 e 1 $0<=1-cos(1/(n^2))<=2$ e quindi per qualsiasi n $n^3(1-cos(1/(n^2)))$ può essere o positivo o nullo (almeno credo )... quindi ora devo applicare Leibniz? Se applico Leibniz dovrei verificare se $a_n$ è decrescente e infinitesima per $n->+\infty$ per assicurami la convergenza della serie... (questo l'ho studiato dalla teoria ) ma non l'ho mai applicato... qualcuno può aiutarmi? Grazie infinitamente
... abbiamo concluso ke la serie è a segni alterni, poichè $sen(n\pi+(\pi)/2)=cos(n\pi)=(-1)^n$, e inoltre $n^3(1-cos(1/(n^2)))$ non è mai negativa, poichè dato ke il coseno è compreso tra -1 e 1 $0<=1-cos(1/(n^2))<=2$ e quindi per qualsiasi n $n^3(1-cos(1/(n^2)))$ può essere o positivo o nullo (almeno credo )... quindi ora devo applicare Leibniz? Se applico Leibniz dovrei verificare se $a_n$ è decrescente e infinitesima per $n->+\infty$ per assicurami la convergenza della serie... (questo l'ho studiato dalla teoria ) ma non l'ho mai applicato... qualcuno può aiutarmi? Grazie infinitamente
........se il conto è giusto...sopra c'è scritto che è infinitesima....
per la monotonia cercherei di dire che l'ultimo termine della catena sopra, va a zero in maniera monotona per t->0, equivalentemente
cercherei di provare che la funzione sia monotona crescente in t.
saluti
per la monotonia cercherei di dire che l'ultimo termine della catena sopra, va a zero in maniera monotona per t->0, equivalentemente
cercherei di provare che la funzione sia monotona crescente in t.
saluti
grazie della risposta... allora, la nostra serie è diventata $\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n(n^3(1-cos(1/(n^2))))$ ??? Se è così ho verificato con un programma ke mi disegna i grafici ke $n^3(1-cos(1/(n^2)))$ è decrescente per n ke va da 1 a $+\infty$... come faccio a dimostrarlo algebricamente? In conclusione posso dire ke la serie converge? Grazie ancora per la pazienza :)
:)
Un altro modo per risolvere il limite è appoggiarsi ai limiti noti.
E' famoso infatti il limite:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))}{x^2} = \frac{1}{2}[/tex] pertanto:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}= \frac{1}{2}[/tex]
Ora:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^3 \left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} n^4 \left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)[/tex]
dunque:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \frac{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}{\frac{1}{n^4}}= 0[/tex].
Rimane da dimostrare che la successione è decrescente. Un modo potrebbe essere quello di passare da una variabile discreta n ad una variabile continua x e studiare la funzione:
[tex]\displaystyle f(x):= x^3 \left(1-\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)[/tex] con [tex]x\ge 1[/tex], in particolare devi mostrare che la derivata prima è negativa per ogni [tex]x\ge 1[/tex] (Ad essere sinceri quello che ho io in mente non è proprio immediato, però ci si può arrivare)
E' famoso infatti il limite:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))}{x^2} = \frac{1}{2}[/tex] pertanto:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}= \frac{1}{2}[/tex]
Ora:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^3 \left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} n^4 \left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)[/tex]
dunque:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \frac{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}{\frac{1}{n^4}}= 0[/tex].
Rimane da dimostrare che la successione è decrescente. Un modo potrebbe essere quello di passare da una variabile discreta n ad una variabile continua x e studiare la funzione:
[tex]\displaystyle f(x):= x^3 \left(1-\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)[/tex] con [tex]x\ge 1[/tex], in particolare devi mostrare che la derivata prima è negativa per ogni [tex]x\ge 1[/tex] (Ad essere sinceri quello che ho io in mente non è proprio immediato, però ci si può arrivare)
@mathematico
forse off-topic
ma quando dico ''passo da una variabile discreta $n$ ad una variabile continua $x$, posso dire che $n$ è restrizione di $x$?
poi qual è la differenza tra discreto e continuo?
forse off-topic
ma quando dico ''passo da una variabile discreta $n$ ad una variabile continua $x$, posso dire che $n$ è restrizione di $x$?
poi qual è la differenza tra discreto e continuo?
[OT]
Beh siamo un bel po' ot non credi?:) Ad ogni modo un insieme discreto è un insieme di punti isolati, che possono essere in numero finito, oppure essere una infinità numerabile. Un insieme è continuo quando è [tex]\aleph_1[/tex], cioè è equipotente a [tex]\mathbb{R}[/tex].
[size=75]Chiedo scusa ai matematici seri, che leggendo questo mio post, piangeranno lacrime amare[/size]
.
Ti consiglio comunque di aprire un altro topic, non mi sembra il caso di "imbrattare" le discussioni altrui
[OT]
"clever":
@mathematico
forse off-topic
ma quando dico ''passo da una variabile discreta $n$ ad una variabile continua $x$, posso dire che $n$ è restrizione di $x$?
poi qual è la differenza tra discreto e continuo?
Beh siamo un bel po' ot non credi?:) Ad ogni modo un insieme discreto è un insieme di punti isolati, che possono essere in numero finito, oppure essere una infinità numerabile. Un insieme è continuo quando è [tex]\aleph_1[/tex], cioè è equipotente a [tex]\mathbb{R}[/tex].
[size=75]Chiedo scusa ai matematici seri, che leggendo questo mio post, piangeranno lacrime amare[/size]
.Ti consiglio comunque di aprire un altro topic, non mi sembra il caso di "imbrattare" le discussioni altrui
[OT]
oh uno tenta! sarà un conto un po' cinico (sempre che sia corretto):
tento di provare che $((sen(t))/t)t^{1/4}$ tende a zero in modo monotono per t ->0,se i conti di qui sono giustie se il conto che sta a pg precedente è corretto, allora la monotonia dovrebbe essere verificata (per l'ipotesi che serve).
derivano la funzione ,considerata tra (0,1], si ha:
$(-3/4)t^{-7/4}sen(t)+t^{-3/4}cos(t)$
poniamolo pari a 0 per cercare pt critici tra (0,1]
e se non conto male si ha $(-3/4)t^{-7/4}sen(t)+t^{-3/4}cos(t)=0$ sse $ tan(t)=4/3t$ che mi torna avere una soluzione tra (0,1), (questo perche tengo in considerazione il valore delle derivate di tan(t) e 4/3t in 0, e tan(1)=1,56(calcolatrice) circa mentre 4/3t per t=1 vale 4/3
booo....vedete un attimo se avete tempo!!!!!!
saluti
tento di provare che $((sen(t))/t)t^{1/4}$ tende a zero in modo monotono per t ->0,se i conti di qui sono giustie se il conto che sta a pg precedente è corretto, allora la monotonia dovrebbe essere verificata (per l'ipotesi che serve).
derivano la funzione ,considerata tra (0,1], si ha:
$(-3/4)t^{-7/4}sen(t)+t^{-3/4}cos(t)$
poniamolo pari a 0 per cercare pt critici tra (0,1]
e se non conto male si ha $(-3/4)t^{-7/4}sen(t)+t^{-3/4}cos(t)=0$ sse $ tan(t)=4/3t$ che mi torna avere una soluzione tra (0,1), (questo perche tengo in considerazione il valore delle derivate di tan(t) e 4/3t in 0, e tan(1)=1,56(calcolatrice) circa mentre 4/3t per t=1 vale 4/3
booo....vedete un attimo se avete tempo!!!!!!
saluti
Allora ragazzi... non voglio crederci che il mio professore si sia sbizzarrito all'improvviso e abbia messo nell'esame di analisi I di questo appello questa serie XDXD Nello scorso appello ha messo la serie $\sum_(n=1)^(+\infty)(4^(2n))/(n!n^2)$... ke con il criterio del rapporto è facilissima da risolvere!!!! Questo tipo di serie invece non l'ho mai visto... e vedo ke voi gentilissimi state cercando di farmi capire come cercare di studiarne il carattere, ma ancora non sono riuscito a comprendere bene ogni cosa... allora la serie ora è $\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))$ ke è una serie a segni alterni e quindi bisogna applicare leibniz... grazie al consiglio di Mathematico, molto chiaro , sappiamo ke la serie è infinitesima per $n->+\infty$, però ora devo dimostrare ke la serie da $[1,+\infty[$ è decrescente... sempre grazie al suggerimento di Mathematico devo studiare il segno della derivata... la derivata è $3x^2(1-cos(1/(x^2)))-2sen(1/(x^2))>0$... dopodichè come procedo? Grazie a tutti per la pazienza e scusate ancora
Questo tipo di serie invece non l'ho mai visto... e vedo ke voi gentilissimi state cercando di farmi capire come cercare di studiarne il carattere, ma ancora non sono riuscito a comprendere bene ogni cosa... allora la serie ora è $\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))$ ke è una serie a segni alterni e quindi bisogna applicare leibniz... grazie al consiglio di Mathematico, molto chiaro , sappiamo ke la serie è infinitesima per $n->+\infty$, però ora devo dimostrare ke la serie da $[1,+\infty[$ è decrescente... sempre grazie al suggerimento di Mathematico devo studiare il segno della derivata... la derivata è $3x^2(1-cos(1/(x^2)))-2sen(1/(x^2))>0$... dopodichè come procedo? Grazie a tutti per la pazienza e scusate ancora
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