Carattere di una serie
raga io ho questa serie della quale devo capire il carattere:
$sum_(K = 1)^(oo) log((k+1)/k)$
allora se provo con il criterio del confronto, e uso come confronto la serie armonica, posso capire subito che la serie in questione diverge? e se si perchè? grazie.
inoltre vorrei capire bene come funziona il confronto tra due successioni, cioè come si fa a capire che una successione è maggiore minore o uguale ad un'altra?
$sum_(K = 1)^(oo) log((k+1)/k)$
allora se provo con il criterio del confronto, e uso come confronto la serie armonica, posso capire subito che la serie in questione diverge? e se si perchè? grazie.
inoltre vorrei capire bene come funziona il confronto tra due successioni, cioè come si fa a capire che una successione è maggiore minore o uguale ad un'altra?
Risposte
Innanzitutto devi verificare che [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/tex] che è la condizione necessaria affinchè la serie converga. Nel tuo caso è verificato quindi si può procedere. Nel caso il limite non fosse uguale a 0 allora eri già sicuro che la serie diverge.
Poi usa il criterio della radice: se [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] è una serie a termini non negativi e se [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=\ell<1[/tex] allora la serie converge.
Nel tuo caso le ipotesi sono verificate quindi calcola il limite. Ti verrà una forma indeterminata $0^0$. Non ti spaventare e usa de l'Hopital:
[tex]\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\log\left(\frac{k+1}{k}\right)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\left[\log\left(\frac{k+1}{k}\right)\right]^{\frac{1-k}{k}}\frac{k}{k+1}=[0(0)^1(1)]=0[/tex]. Quindi la serie converge.
Poi usa il criterio della radice: se [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] è una serie a termini non negativi e se [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=\ell<1[/tex] allora la serie converge.
Nel tuo caso le ipotesi sono verificate quindi calcola il limite. Ti verrà una forma indeterminata $0^0$. Non ti spaventare e usa de l'Hopital:
[tex]\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\log\left(\frac{k+1}{k}\right)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\left[\log\left(\frac{k+1}{k}\right)\right]^{\frac{1-k}{k}}\frac{k}{k+1}=[0(0)^1(1)]=0[/tex]. Quindi la serie converge.
ma sul libro dice che diverge! O.o
e poi scusa de l'Hopital non si usa solo nell forme $0/0 e oo/oo$?
e inoltre quella non è la derivata prima perchè manca la derivazione di $(k + 1)/k$
de l'hopital si potrebbe utilizzare cosi, ma converge comunque!:
$lim_(n -> +oo) 1/n(log(n + 1) - log(n)) = lim_(n -> +oo) (log(n + 1))/n - (log(n))/n$
ora divido i due limiti e noto che sono entrambi del tipo $oo/oo$
adesso per ciascuno dei due potrei applicare Hopital ma con il risultato uguale al tuo ovvero L < 1, quindi convergente!!!
o ha sbagliato il libro o si commette qualche errore di calcolo!
e poi scusa de l'Hopital non si usa solo nell forme $0/0 e oo/oo$?
e inoltre quella non è la derivata prima perchè manca la derivazione di $(k + 1)/k$
de l'hopital si potrebbe utilizzare cosi, ma converge comunque!:
$lim_(n -> +oo) 1/n(log(n + 1) - log(n)) = lim_(n -> +oo) (log(n + 1))/n - (log(n))/n$
ora divido i due limiti e noto che sono entrambi del tipo $oo/oo$
adesso per ciascuno dei due potrei applicare Hopital ma con il risultato uguale al tuo ovvero L < 1, quindi convergente!!!
o ha sbagliato il libro o si commette qualche errore di calcolo!
E' una serie telescopica.
Ti basta osservare che $\log(\frac{k+1}{k}) =\log(k+1) - \log(k)$,
quindi la somma parziale $n$-esima è
$s_n = \sum_{k=1}^n [\log(k+1)-\log(k)] = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)$
e, di conseguenza,
$\lim_n s_n = +\infty$.
La serie diverge dunque a $+\infty$.
Peraltro questa serie ha lo stesso carattere della serie armonica, come puoi verificare con il criterio del confronto asintotico.
Puoi quindi usare questo risultato per dimostrare che la serie armonica diverge a $+\infty$ (se già non lo sai per altri versi).
Ti basta osservare che $\log(\frac{k+1}{k}) =\log(k+1) - \log(k)$,
quindi la somma parziale $n$-esima è
$s_n = \sum_{k=1}^n [\log(k+1)-\log(k)] = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)$
e, di conseguenza,
$\lim_n s_n = +\infty$.
La serie diverge dunque a $+\infty$.
Peraltro questa serie ha lo stesso carattere della serie armonica, come puoi verificare con il criterio del confronto asintotico.
Puoi quindi usare questo risultato per dimostrare che la serie armonica diverge a $+\infty$ (se già non lo sai per altri versi).
Vorrei provare io usando la stima asintotica:
$log((k+1)/k)=log(1+1/k)sim1/k$
la serie armonica $1/k$ è divergente
giusto così?
$log((k+1)/k)=log(1+1/k)sim1/k$
la serie armonica $1/k$ è divergente
giusto così?
Giusto.
raga ho capito XD, troppo gentili 
.
vediamo se ho afferrato bene la metodica!!
prima di tutto faccio il limite della successione che si trova nella sommatoria, fatto ciò se è $oo$ sono apposto è so quindi che diverge, se è zero allora ho ottuneto una condizione necessaria affinchè la mia serie possa convergere, ma ancora non è detto che converga può ancora divergere!
a questo punto utilizzo uno dei criteri di confronto cercando di capirne il carattere ed ho risolto.
ma questo per quanto riguarda il carattere, e ci siamo!!
quando invece bisogna calcolare la somma della ridotta e - nesima c'è un qualche trucchetto per trovarla velocemente?? perché ci sono casi in cui risulta veramente difficile da trovare, almeno per me!!!
.vediamo se ho afferrato bene la metodica!!
prima di tutto faccio il limite della successione che si trova nella sommatoria, fatto ciò se è $oo$ sono apposto è so quindi che diverge, se è zero allora ho ottuneto una condizione necessaria affinchè la mia serie possa convergere, ma ancora non è detto che converga può ancora divergere!
a questo punto utilizzo uno dei criteri di confronto cercando di capirne il carattere ed ho risolto.
ma questo per quanto riguarda il carattere, e ci siamo!!
quando invece bisogna calcolare la somma della ridotta e - nesima c'è un qualche trucchetto per trovarla velocemente?? perché ci sono casi in cui risulta veramente difficile da trovare, almeno per me!!!
La somma della ridotta $n$-esima può essere calcolata esplicitamente (in forma chiusa) solo in un numero estremamente limitato di casi.
Le serie telescopiche rientrano fra questi casi.
Le serie telescopiche rientrano fra questi casi.
ok quindi mi devo concentrare più che altro a saper studiarne il carattere...grazie a tutti XD
vi propongo quest'altra serie di cui calcolare la somma:
$sum_(k = 1)^(oo)log((k+1)^2/(k(k+2)))$
ora il logaritmo lo posso riscrive in questo modo:
$sum_(k = 1)^(oo)log(1/2(2+1/k-1/(k+2)))$
adesso procedo ad individuare la somma Sn:
$log(1/2)^n+log2^n[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+......]
$
quindi:
Sn = $log(1/2)^n+log2^n+1+1/2 = logsqrt(8)$
solo che deve uscire $log2$
aiutatemi ad individuare l'errore XD
$sum_(k = 1)^(oo)log((k+1)^2/(k(k+2)))$
ora il logaritmo lo posso riscrive in questo modo:
$sum_(k = 1)^(oo)log(1/2(2+1/k-1/(k+2)))$
adesso procedo ad individuare la somma Sn:
$log(1/2)^n+log2^n[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+......]
$
quindi:
Sn = $log(1/2)^n+log2^n+1+1/2 = logsqrt(8)$
solo che deve uscire $log2$
aiutatemi ad individuare l'errore XD
Ciao
Io questa serie la vedo così (non so se va bene come ragionamento, ci provo)
$log(k+1)^2/(k^2+2k)$ $simlog(k^2+1)/k^2$ $simlog(1+1/k^2)sim1/k^2$
la serie converge.
Io questa serie la vedo così (non so se va bene come ragionamento, ci provo)
$log(k+1)^2/(k^2+2k)$ $simlog(k^2+1)/k^2$ $simlog(1+1/k^2)sim1/k^2$
la serie converge.
che converge lo so. Devo trovare la Somma....XD
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