Carattere di una serie
Salve a tutti. Vorrei sapere se il seguente procedimento per il calcolo del carattere di una serie è corretto.
$sum^oo_(n=1)(n!/n^2n)$
$sum^oo_(n=1)(n!/n^2n)$
Risposte
Scusate, ho premuto per errore il tasto invia.
Ora aggiorno il post e reinvio.
Ora aggiorno il post e reinvio.
Dunque, la serie proposta è la seguente:
$sum^oo_(n=1)((n!)/n^(2n))$
Applico il criterio del rapporto.
$lim_(n->oo)(a_(n+1)/a_n)$
Che nel nostro caso diviene:
$lim_(n->oo)((n+1!)/(n+1)^(2n+2))(n^(2n)/(n!))$
Che possiamo anche scrivere come:
$lim_(n->oo) ((n+1)n^(2n)) /((n+1)^(2n)(n+1)^2)$
Ovvero:
$lim_(n->oo) (n^(2n)) /((n+1)^(2n)(n+1))$
e quindi:
$lim_(n->oo) (n/(n+1))^(2n)1/(n+1)$
Passiamo ora dal limite di un prodotto al prodotto dei limiti:
$lim_(n->oo) (n/(n+1))^n lim_(n->oo) (n/(n+1))^nlim_(n->oo) 1/(n+1)$
Il primo di questi lo possiamo anche scrivere come:
$lim_(n->oo) (1/(1+1/n))^n=1/(lim_(n->oo) (1+1/n)^n)=1/e$
In definitiva abbiamo, al limite:
$1/e*1/e*0=0$
E la serie, pertanto, ha carattere di convergenza.
Convincente? Oppure ci sono buchi?
Grazie.
$sum^oo_(n=1)((n!)/n^(2n))$
Applico il criterio del rapporto.
$lim_(n->oo)(a_(n+1)/a_n)$
Che nel nostro caso diviene:
$lim_(n->oo)((n+1!)/(n+1)^(2n+2))(n^(2n)/(n!))$
Che possiamo anche scrivere come:
$lim_(n->oo) ((n+1)n^(2n)) /((n+1)^(2n)(n+1)^2)$
Ovvero:
$lim_(n->oo) (n^(2n)) /((n+1)^(2n)(n+1))$
e quindi:
$lim_(n->oo) (n/(n+1))^(2n)1/(n+1)$
Passiamo ora dal limite di un prodotto al prodotto dei limiti:
$lim_(n->oo) (n/(n+1))^n lim_(n->oo) (n/(n+1))^nlim_(n->oo) 1/(n+1)$
Il primo di questi lo possiamo anche scrivere come:
$lim_(n->oo) (1/(1+1/n))^n=1/(lim_(n->oo) (1+1/n)^n)=1/e$
In definitiva abbiamo, al limite:
$1/e*1/e*0=0$
E la serie, pertanto, ha carattere di convergenza.
Convincente? Oppure ci sono buchi?
Grazie.
Converge perchè la successione degli addendi è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto ad $1/n$.
sembra decisamente molto convincente...
"gugo82":
Converge perchè la successione degli addendi è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto ad $1/n$.
Bhe si, però non mi sembra che il procedimento sia sbagliato....
"Domè89":
[quote="gugo82"]Converge perchè la successione degli addendi è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto ad $1/n$.
Bhe si, però non mi sembra che il procedimento sia sbagliato....[/quote]
No, infatti.
Era solo una nota a margine.
Ciao gugo.
Non conosco il metodo degli infinitesimi (sul quale cercherò di documentarmi, noi temere
). Ti chiedo, però, il procedimento da me proposto è comunque corretto?
Grazie.
Non conosco il metodo degli infinitesimi (sul quale cercherò di documentarmi, noi temere
). Ti chiedo, però, il procedimento da me proposto è comunque corretto?Grazie.
"Domè89":
[quote="gugo82"]Converge perchè la successione degli addendi è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto ad $1/n$.
Bhe si, però non mi sembra che il procedimento sia sbagliato....[/quote]
é giusto il procedim!però se ti vorresti sbrigare subito basta considerazioni sull ordine di infinitesimo di $1/n$
Grazie.
(... ed ora, metodo degli infinitesimi, aspettami ... )
(... ed ora, metodo degli infinitesimi, aspettami ...
)
Non è un metodo particolare... è frutto di un ragionamento che si basa sul Teorma del Confronto.
Sai che la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^alpha$ converge se $alpha>1$ e diverge altrimenti.
Ora, se la successione degli addendi della serie a termini non negativi $\sum a_n$ è infinitesima d'ordine non inferiore ad un $alpha>1$ allora sussiste definitivamente una maggiorazione del tipo:
$AA n >nu, a_nle L/n^alpha quad$ (qui è $L>0$)
e dal Teorema del Confronto segue facilmente che la serie $\sum a_n$ è convergente.
D'altra parte, se la successione degli addendi $(a_n)$ è infinitesima d'ordine non superiore ad uno allora sussiste una minorazione del tipo:
$AA n >nu, M/n lea_nquad$ (anche qui $M>0$)
e la serie $\sum a_n$ è divergente sempre per il Teorema del Confronto.
Sai che la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^alpha$ converge se $alpha>1$ e diverge altrimenti.
Ora, se la successione degli addendi della serie a termini non negativi $\sum a_n$ è infinitesima d'ordine non inferiore ad un $alpha>1$ allora sussiste definitivamente una maggiorazione del tipo:
$AA n >nu, a_nle L/n^alpha quad$ (qui è $L>0$)
e dal Teorema del Confronto segue facilmente che la serie $\sum a_n$ è convergente.
D'altra parte, se la successione degli addendi $(a_n)$ è infinitesima d'ordine non superiore ad uno allora sussiste una minorazione del tipo:
$AA n >nu, M/n lea_nquad$ (anche qui $M>0$)
e la serie $\sum a_n$ è divergente sempre per il Teorema del Confronto.
Grazie gugo.
Ora me la studio, ci faccio sopra qualche esercizio, e poi se mi sfugge qualcosa disturberò in seguito.
Grazie ancora.
Ora me la studio, ci faccio sopra qualche esercizio, e poi se mi sfugge qualcosa disturberò in seguito.
Grazie ancora.
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