Carattere di una serie
devo studiare la serie $ sum_(n =0 ) ^(+oo)(n!)/(n^n)a^n $ al variare di $ a $ reale.
ne ho studiato l'assoluta convergenza col criterio del rapporto e ho trovato che converge assolutamente per $ |a|e $ . ho però difficoltà a trattare i casi $ |a|=e $ :
per $ a=e $ il criterio del rapporto è inconcludente perchè il risultato del limite è 1, e col criterio della radice ottengo $ lim_(n ->+oo ) (n!)^(1/n)e/n=lim_(n ->+oo )e/n=0 $ quindi convergenza della serie ma il libro afferma che è divergente. dove sbaglio?
ne ho studiato l'assoluta convergenza col criterio del rapporto e ho trovato che converge assolutamente per $ |a|
per $ a=e $ il criterio del rapporto è inconcludente perchè il risultato del limite è 1, e col criterio della radice ottengo $ lim_(n ->+oo ) (n!)^(1/n)e/n=lim_(n ->+oo )e/n=0 $ quindi convergenza della serie ma il libro afferma che è divergente. dove sbaglio?
Risposte
Non mi è chiaro il tuo ultimo limite, penso che sia sbagliato quello. Comunque il caso $a=e$ non è facile, credo sia necessario sapere che $n!$ è asintotico a $\sqrt n n^n/e^n$ (formula di Stirling). Se usi questo vedi facilmente che non hai convergenza.
avevo fatto $ lim_(n -> +oo) (n!)^(1/n)e/n=lim_(n -> +oo) (n!)^0e/n=lim_(n -> +oo) 1*e/n=0 $ che è sicuramente sbagliato ma vorrei cercare di risolvere questo limite perchè la formula di Stirling non la conosco
Il fatto che questo limite sia $+\infty$ è di fatto la formula di Stirling, non ne esci, se non la conosci studiala.
sarà fatto, grazie
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