Carattere di una serie

[itisscience]

buonasera! potete darmi un suggerimento su come determinare il carattere della seguente serie $ sum_(n =1) ^oologn/n^2 $

premesso che non sono sicuro che sia vero che $ logn<√n $ allora $ logn/n^2

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Risposte

Mephlip

8 ago 2021, 17:19

Secondo me ti conviene fare un confronto asintotico con $\frac{1}{n^{3/2}}$, molto più rapido.

Comunque, la disuguaglianza $\log n <\sqrt{n}$ è vera: ci sono vari modi per dimostrarla, o dimostrarne una un po' meno forte che però funziona uguale in questo contesto.
i) Puoi provare a studiare la funzione $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x):=\sqrt{x}-\log x$, sperando che abbia un minimo $m$ tale che $m\geq 0$; poi ti basta restringere $f$ ai naturali $\geq 1$, ossia considerare $f|_{\mathbb{N} \setminus \{0\}}$.

ii) Se conosci gli sviluppi in serie di Taylor, puoi dedurre che per ogni $t \in \mathbb{R}$ è $e^t \geq 1+t$ con uguaglianza se e solo se $t=0$; ponendo $t=\log \sqrt{x}$, hai che per ogni $x>0$ risulta
$$\sqrt{x} > 1+\log \sqrt{x} >\log \sqrt{x}=\frac{1}{2} \log x \implies 2\sqrt{x}>\log x$$

iii) Un modo più scenico è questo: hai che $\log n = \int_1^{n} \frac{1}{x} \text{d}x$ con $n \geq 1$ naturale.
Essendo $x \in [1,n]$, è $x \geq 1$ e perciò $x \geq \sqrt{x}$: dunque $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}$ e perciò, per monotonia dell'integrale, hai
$$\log n =\int_1^n \frac{1}{x} \text{d}x \leq \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x=[2\sqrt{x}]_1^n=2\sqrt{n}-2<2\sqrt{n}\implies \log n < 2\sqrt{n}$$
Perciò $\frac{\log n}{n^2} < \frac{2}{n^{3/2}}$.

Della costante $2$ ce ne frega il giusto nei casi (ii) e (iii).

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itisscience

8 ago 2021, 19:47

sei stato illuminante, grazie!

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[Mephlip]

Secondo me ti conviene fare un confronto asintotico con $\frac{1}{n^{3/2}}$, molto più rapido.

Comunque, la disuguaglianza $\log n <\sqrt{n}$ è vera: ci sono vari modi per dimostrarla, o dimostrarne una un po' meno forte che però funziona uguale in questo contesto.
i) Puoi provare a studiare la funzione $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x):=\sqrt{x}-\log x$, sperando che abbia un minimo $m$ tale che $m\geq 0$; poi ti basta restringere $f$ ai naturali $\geq 1$, ossia considerare $f|_{\mathbb{N} \setminus \{0\}}$.

ii) Se conosci gli sviluppi in serie di Taylor, puoi dedurre che per ogni $t \in \mathbb{R}$ è $e^t \geq 1+t$ con uguaglianza se e solo se $t=0$; ponendo $t=\log \sqrt{x}$, hai che per ogni $x>0$ risulta
$$\sqrt{x} > 1+\log \sqrt{x} >\log \sqrt{x}=\frac{1}{2} \log x \implies 2\sqrt{x}>\log x$$

iii) Un modo più scenico è questo: hai che $\log n = \int_1^{n} \frac{1}{x} \text{d}x$ con $n \geq 1$ naturale.
Essendo $x \in [1,n]$, è $x \geq 1$ e perciò $x \geq \sqrt{x}$: dunque $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}$ e perciò, per monotonia dell'integrale, hai
$$\log n =\int_1^n \frac{1}{x} \text{d}x \leq \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x=[2\sqrt{x}]_1^n=2\sqrt{n}-2<2\sqrt{n}\implies \log n < 2\sqrt{n}$$
Perciò $\frac{\log n}{n^2} < \frac{2}{n^{3/2}}$.

Della costante $2$ ce ne frega il giusto nei casi (ii) e (iii).

[itisscience]

sei stato illuminante, grazie!