Carattere di una serie
salve ragazzi,
devo studiare il carattere della seguente serie: $ sum_(n =1) ^{+oo}((n+1)^{1/3}-(n)^{1/3 })(arctann^alpha) $ con $ alpha $ parametro reale.
mi ha messo parecchio in difficoltà perchè anche sfruttando il limite notevole $ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha $ per il primo fattore, non riesco ad andare molto avanti con l'esercizio.
spero mi possiate aiutare
devo studiare il carattere della seguente serie: $ sum_(n =1) ^{+oo}((n+1)^{1/3}-(n)^{1/3 })(arctann^alpha) $ con $ alpha $ parametro reale.
mi ha messo parecchio in difficoltà perchè anche sfruttando il limite notevole $ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha $ per il primo fattore, non riesco ad andare molto avanti con l'esercizio.
spero mi possiate aiutare
Risposte
Cosa hai provato? E dove e perchè ti sei bloccato?
allora innanzitutto ho cercato di rendere la serie da studiare più semplice coi limiti notevoli così:
$ lim_(n ->+oo ) ((n^alpha)(n^{1/3}))/3 $ ... va bene?
$ lim_(n ->+oo ) ((n^alpha)(n^{1/3}))/3 $ ... va bene?
No.
riporto i passaggi cosicché tu possa indicarmi il punto in cui sbaglio: $ lim_(n -> +oo) (n)^{1/3} ((1+1/n)^{1/3}-1)*(arctan(alpha))=lim_(n -> +oo) 1/n*(((1+1/n)^{1/3}-1))/(1/n)*arctan(alpha)/(n^alpha)*n^alpha $
quindi non procedo con i limiti notevoli?
quindi non procedo con i limiti notevoli?
In quel passaggio è scomparso un $n^(1/3)$, e poi stai più attento all'argomento dell'arcotangente.
Inoltre i limiti notevoli si possono applicare sotto certe ipotesi, in particolare qua uno dei 2 non si può applicare sempre.
Inoltre i limiti notevoli si possono applicare sotto certe ipotesi, in particolare qua uno dei 2 non si può applicare sempre.
Ciao itisscience,
Vediamo di fare un po' di ordine, considerando dapprima la sola parte di $a_n $ che non contiene il parametro $\alpha \in \RR $:
$ (n+1)^{1/3} - n^{1/3} $
Non puoi usare pedissequamente il limite notevole che hai citato senza riflettere, perché in quel limite $x \to 0 $, mentre qui $n \to +infty $, quindi la cosa migliore è far sì che sia $x = 1/n $:
$\lim_{n \to +\infty} [(n+1)^{1/3} - n^{1/3}] = \lim_{n \to +\infty} n^{1/3}[(1+1/n)^{1/3} - 1] = \lim_{n \to +\infty} n^{1/3}/n \cdot \frac{(1+1/n)^{1/3} - 1}{1/n} = $
$ \lim_{n \to +\infty} n^{- 2/3} \cdot \frac{(1+1/n)^{1/3} - 1}{1/n} = \lim_{n \to +\infty} n^{- 2/3} \cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{(1+1/n)^{1/3} - 1}{1/n} $
L'ultimo limite scritto è quello notevole che hai citato nel caso particolare $\alpha = 1/3 $, per cui per $n \to +\infty $ si ha:
[tex](n+1)^{1/3} - n^{1/3} \sim \frac{1}{3} n^{- 2/3} = \frac{1}{3 n^{2/3}}[/tex]
Pertanto si ha:
[tex]\sum_{n = 1}^{+\infty}[(n+1)^{1/3} - n^{1/3 }] \arctan{n^{\alpha}} \sim \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\arctan{n^{\alpha}}}{n^{2/3}}[/tex]
A questo punto devi analizzare che cosa accade nei diversi casi: per $\alpha = 0 $ si vede subito che la serie proposta diverge positivamente in quanto si comporta come la serie armonica generalizzata con parametro $p = 2/3 < 1 $
Cosa accade per $\alpha > 0 $ e per $\alpha < 0 $ ?
Vediamo di fare un po' di ordine, considerando dapprima la sola parte di $a_n $ che non contiene il parametro $\alpha \in \RR $:
$ (n+1)^{1/3} - n^{1/3} $
Non puoi usare pedissequamente il limite notevole che hai citato senza riflettere, perché in quel limite $x \to 0 $, mentre qui $n \to +infty $, quindi la cosa migliore è far sì che sia $x = 1/n $:
$\lim_{n \to +\infty} [(n+1)^{1/3} - n^{1/3}] = \lim_{n \to +\infty} n^{1/3}[(1+1/n)^{1/3} - 1] = \lim_{n \to +\infty} n^{1/3}/n \cdot \frac{(1+1/n)^{1/3} - 1}{1/n} = $
$ \lim_{n \to +\infty} n^{- 2/3} \cdot \frac{(1+1/n)^{1/3} - 1}{1/n} = \lim_{n \to +\infty} n^{- 2/3} \cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{(1+1/n)^{1/3} - 1}{1/n} $
L'ultimo limite scritto è quello notevole che hai citato nel caso particolare $\alpha = 1/3 $, per cui per $n \to +\infty $ si ha:
[tex](n+1)^{1/3} - n^{1/3} \sim \frac{1}{3} n^{- 2/3} = \frac{1}{3 n^{2/3}}[/tex]
Pertanto si ha:
[tex]\sum_{n = 1}^{+\infty}[(n+1)^{1/3} - n^{1/3 }] \arctan{n^{\alpha}} \sim \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\arctan{n^{\alpha}}}{n^{2/3}}[/tex]
A questo punto devi analizzare che cosa accade nei diversi casi: per $\alpha = 0 $ si vede subito che la serie proposta diverge positivamente in quanto si comporta come la serie armonica generalizzata con parametro $p = 2/3 < 1 $
Cosa accade per $\alpha > 0 $ e per $\alpha < 0 $ ?
per $ alpha>0 $ applico il criterio del confronto asintotico con la serie $ 1/n^{2/3 $ che come hai detto tu diverge. il limite mi viene $ pi/2 $ quindi la serie avrà lo stesso carattere di $ 1/n^{2/3 $ quindi diverge per $ alpha>=0 $ .
per $ alpha<0 $ la confronto con $ 1/n^{2/3-alpha} $ quindi diverge per $ alpha>=-1/3 $ e converge per $ alpha<-1/3 $
per $ alpha<0 $ la confronto con $ 1/n^{2/3-alpha} $ quindi diverge per $ alpha>=-1/3 $ e converge per $ alpha<-1/3 $
Esatto! 
Riassumendo la serie proposta
- diverge positivamente per $\alpha \ge - 1/3 $
- converge per $\alpha < - 1/3 $
Riassumendo la serie proposta
- diverge positivamente per $\alpha \ge - 1/3 $
- converge per $\alpha < - 1/3 $
grazie mille!! 
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