Carattere di una serie
Salve, devo studiare il carattere della serie con la successione che segue:
(3^n)[1-(1/n^(3/2))]^(5/2)
Io l'ho risolto applicando direttamente il limite notevole di "e", e poi il criterio del rapporto.. mi viene che la successione (che è a termini positivi logicamente) tende a 3. Ora però confrontando con la soluzione vedo che il mio professore ha utilizzato prima il criterio della radice e poi il limite notevole di "e" ed il risultato era 3/e giustamente. In ambo i casi si riesce a vedere che la serie diverge per ovvi motivi, ma la mia domanda è, o meglio sono due:
1. È normale che applicando due criteri diversi di studio della convergenza vengano dei limiti diversi per valore anche se con lo stesso "carattere"? (A me è venuto 3 mentre al mio professore con un altro criterio 3/e)??
2. Il mio procedimento è da considerarsi sbagliato, o ha comunque qualche rischio?
Grazie in anticipo!
(3^n)[1-(1/n^(3/2))]^(5/2)
Io l'ho risolto applicando direttamente il limite notevole di "e", e poi il criterio del rapporto.. mi viene che la successione (che è a termini positivi logicamente) tende a 3. Ora però confrontando con la soluzione vedo che il mio professore ha utilizzato prima il criterio della radice e poi il limite notevole di "e" ed il risultato era 3/e giustamente. In ambo i casi si riesce a vedere che la serie diverge per ovvi motivi, ma la mia domanda è, o meglio sono due:
1. È normale che applicando due criteri diversi di studio della convergenza vengano dei limiti diversi per valore anche se con lo stesso "carattere"? (A me è venuto 3 mentre al mio professore con un altro criterio 3/e)??
2. Il mio procedimento è da considerarsi sbagliato, o ha comunque qualche rischio?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao Kris979797.
Onestamente mi sembrano tutte complicazioni inutili...
Se come sembra la serie proposta è
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 3^n [1-(1/n^(3/2))]^(5/2) $
allora, posto $a_n := 3^n [1-(1/n^(3/2))]^(5/2) $, si vede subito che $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $; pertanto, non essendo soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy ed essendo la serie proposta a termini positivi come giustamente hai fatto notare si conclude subito che essa diverge positivamente.
Onestamente mi sembrano tutte complicazioni inutili...
Se come sembra la serie proposta è
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 3^n [1-(1/n^(3/2))]^(5/2) $
allora, posto $a_n := 3^n [1-(1/n^(3/2))]^(5/2) $, si vede subito che $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $; pertanto, non essendo soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy ed essendo la serie proposta a termini positivi come giustamente hai fatto notare si conclude subito che essa diverge positivamente.
Il professore richiedeva di usare uno dei due criteri, io volevo sapere se il mio metodo è corretto e se è "normale" che i limiti ottenuti sono diversi..
Grazie.
Grazie.
"Kris979797":
Il professore richiedeva di usare uno dei due criteri
Questo non l'avevi scritto nell'OP...
"Kris979797":
io volevo sapere se il mio metodo è corretto
Se non posti i passaggi è difficile dirlo.
"Kris979797":
è "normale" che i limiti ottenuti siano diversi..
Beh sì: se da una parte applichi il criterio della radice e dall'altra quello del rapporto può capitare, l'importante è che i risultati dei due metodi siano coerenti, cioè che la serie risulti comunque divergente.
"Kris979797":
Grazie.
Prego.
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