Carattere di una serie
Salve a tutti!
Sto avendo problemi a studiare il carattere della seguente serie:
$sum_(n = 1) ^oo (-1)^n logn/(n+1)$
Intanto la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta ($a_n->0$).
Siccome $sum_(n = 1) ^oo logn/(n+1) =+oo$, la serie non converge assolutamente.
Invece non "riesco" ad applicare criterio di Leibniz perché ho problemi a studiare la monotonia del termine generale:
$logn/(n+1)>log(n+1)/(n+2)$
Ho anche provato a studiare la crescenza/decrescenza della funzione $g(t)=logt/(t+1)$ $AA t in ]0,+oo[$
ma evidentemente è la strada sbagliata...
Un aiutino...?
Sto avendo problemi a studiare il carattere della seguente serie:
$sum_(n = 1) ^oo (-1)^n logn/(n+1)$
Intanto la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta ($a_n->0$).
Siccome $sum_(n = 1) ^oo logn/(n+1) =+oo$, la serie non converge assolutamente.
Invece non "riesco" ad applicare criterio di Leibniz perché ho problemi a studiare la monotonia del termine generale:
$logn/(n+1)>log(n+1)/(n+2)$
Ho anche provato a studiare la crescenza/decrescenza della funzione $g(t)=logt/(t+1)$ $AA t in ]0,+oo[$
ma evidentemente è la strada sbagliata...
Un aiutino...?
Risposte
Ciao Valeforce,
Perché?
$g'(t) < 0 $ da un certo valore di $t $ in poi, ad esempio per $t >= 4 $
Quindi $ logn/(n+1) > log(n+1)/(n+2) \qquad \AA n >= 4 $ e pertanto per il criterio di Leibnitz la serie proposta converge.
"ValeForce":
Ho anche provato a studiare la crescenza/decrescenza della funzione $g(t)=logt/(t+1) \AA t \in (0, +\infty) $ ma evidentemente è la strada sbagliata...
Perché?
$g'(t) < 0 $ da un certo valore di $t $ in poi, ad esempio per $t >= 4 $
Quindi $ logn/(n+1) > log(n+1)/(n+2) \qquad \AA n >= 4 $ e pertanto per il criterio di Leibnitz la serie proposta converge.
Ciao pilloeffe grazie per la risposta! 
Come vedo/dimostro che la $g'(t)=( t+1-tlogt)/(t(t+1)^2)$, se non ho sbagliato a calcolarla, è negativa da un certo valore di $t$ in poi? Non so risolvere quella disequazione...
Come vedo/dimostro che la $g'(t)=( t+1-tlogt)/(t(t+1)^2)$, se non ho sbagliato a calcolarla, è negativa da un certo valore di $t$ in poi? Non so risolvere quella disequazione...
"ValeForce":
Ciao pilloeffe grazie per la risposta!
Prego!
"ValeForce":
[...] Non so risolvere quella disequazione...
Ah, neanch'io...
La derivata che hai calcolato è corretta. Diciamo che si può ragionare così: lasciando perdere il quadrato a denominatore, che è sicuramente positivo e trascurando l'$1$ a numeratore, che all'aumentare di $t$ diventa sempre più irrilevante, semplificando $ t$ a numeratore e a denominatore si ottiene $1 - log t $ che è una quantità che prima o poi (più prima che poi...) negativa ci diventa...
In alternativa, se vuoi essere più rigoroso, dovresti dimostrare che da un certo $t $ in poi si ha $1 + 1/t - logt <= 0 \implies 1 + 1/t <= logt $
Se fai un grafico della funzione omografica $1 + 1/t $ e della funzione $ logt $ si vede subito che da un certo valore di $t $ in poi è vera (avevo suggerito $t = 4 $, perché è un valore comodo visto l'uso che poi se ne deve fare per la serie proposta, ma se vuoi puoi scrivere un altro valore, chessò $t = e^(4/3) $)
Ho capito, sei stato chiaro!
Grazie mille
Grazie mille
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