Carattere di una serie
Buonasera a tutti, oggi stavo provando a fare esercizi sulle serie e mi sono imbattuto in questo esercizio. Bisogna definire il carattere della seguente serie:
$ sum_(n =1) ^oo (n!)/(root(2)((2n+1)!) $
Il mio procedimento è stato il seguente:
$ sum_(n =1) ^oo ( ((n+1)n!)/(root(2)((2(n+1)+1)!))* (root(2) ((2n+1)!)/(n!)) $
Che semplificando il $ n! $ e mettendo tutto sotto un'unica radice diventa:
$ sum_(n =1)^oo ((n+1)/1)* (root(2)(((2n+1)!) / ((2n+3)!))) $
Il mio problema è che da questo punto in poi non riesco a ricondurlo a nessuna serie nota e quindi a capirne il carattere.
Grazie per l'aiuto.
$ sum_(n =1) ^oo (n!)/(root(2)((2n+1)!) $
Il mio procedimento è stato il seguente:
$ sum_(n =1) ^oo ( ((n+1)n!)/(root(2)((2(n+1)+1)!))* (root(2) ((2n+1)!)/(n!)) $
Che semplificando il $ n! $ e mettendo tutto sotto un'unica radice diventa:
$ sum_(n =1)^oo ((n+1)/1)* (root(2)(((2n+1)!) / ((2n+3)!))) $
Il mio problema è che da questo punto in poi non riesco a ricondurlo a nessuna serie nota e quindi a capirne il carattere.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Attenzione al formalismo: stai, immagino, applicando il criterio del rapporto, il quale ti dice che devi valutare il limite di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, non la serie che ha come termine generale $\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Seconda cosa: puoi semplificare l'ultima frazione coi fattoriali che hai scritto... usa la definizione di fattoriale.
Si, dovevo togliere la sommatoria davanti. Quindi alla fine risulterebbe:
$ (n+1)root(2)(((2n+1)(2n)!) / ((2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)!)) $
$ (n+1)root(2)((1)/ ((2n+3)(2n+2)) $
Togliendo i termini con x minore di $n^2$ ho:
$ (n+1)/(root(2)((4n^2)))=n/(2n)=1/2 $
Quindi la serie converge. Giusto?
$ (n+1)root(2)(((2n+1)(2n)!) / ((2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)!)) $
$ (n+1)root(2)((1)/ ((2n+3)(2n+2)) $
Togliendo i termini con x minore di $n^2$ ho:
$ (n+1)/(root(2)((4n^2)))=n/(2n)=1/2 $
Quindi la serie converge. Giusto?
si.
Ok, grazie mille per l'aiuto!
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