Carattere di una serie

[antofilo-votailprof]

Ciao a tutti.
Potreste controllare se ho svolto bene questa serie?

$sum$ $=(-1)^n [log(1+arctg(1/n))]^2$ con n che va da 1 a infinito.

Ho risolto così. Essendo una serie a segni alterni, controllo prima l'assoluta convergenza. Quindi studio la serie
$sum$$=[log(1+arctg(1/n))]^2$ .
Il criterio di convergenza mi dice che può convergere, essendo infinitesima la successione $a_n$.

Studio tale serie a termini positivi con il teorema del confronto asintotico, osservando che
$arctg(1/n) ~ (1/n)$ per n-> infinito e che
$log(1+ 1/n) ~ (1/n)$ per n-> infinito.

Pertanto la serie confrontandola asintoticamente con la serie armonica sicuramente non converge assolutamente e non posso concludere nulla sulla convergenza semplice.
Uso pertanto Leibniz.
So già che è infinitesima. Controllo che è decrescente.
Pertanto converge semplicemente.
Sbaglio qualcosa?

[cooper1]

Le stime asintotiche sono corrette ma hai poi dimenticato l'elevamento al quadrato. Quindi in definitiva la serie dei moduli è asintotica a $1/n^2$

[antofilo-votailprof]

ti ringrazio.
Quindi la serie converge semplicemente e assolutamente.
Andrebbe svolto così ad un eventuale esame?

[cooper1]

"AAnto":Quindi la serie converge semplicemente e assolutamente.

magari ad un eventuale esame direi che abbiamo dimostrato la convergenza assoluta e poichè questa è condizione necessaria per la convergenza semplice allora si può concludere che la serie data converge.