Carattere di una serie
Stabilire il carattere della serie al variare di x $sum_(n=1)^(infty) (x^2 +1)^n / n^3$
Qualcuno sa come si risolve?
Qualcuno sa come si risolve?
Risposte
Edit: non avevo visto quella piccola x a moltiplicare la sommatoria. Ti consiglio di aspettare il commento di qualcuno più autorevole.
"MrEngineer":
Edit: non avevo visto quella piccola x a moltiplicare la sommatoria. Ti consiglio di aspettare il commento di qualcuno più autorevole.
Nono, non è una $x$ che moltiplica la sommatoria. In ogni caso credo si possa risolvere molto più facilmente rispetto al metodo che hai proposto prima con il raggio etc..
In verità è più semplice di quanto tu possa credere. Però certo,non so se tu conosci l'argomento. Ad esempio,queste serie qui mi furono presentate sotto altro nome durante il corso di Analisi I prima ancora di conoscere le serie di potenze. Il metodo che ti ho elencato prima è attuabile,decidi tu come meglio procedere. Ho provato l'esercizio! In bocca al lupo per gli studi
"MrEngineer":
In verità è più semplice di quanto tu possa credere. Però certo,non so se tu conosci l'argomento. Ad esempio,queste serie qui mi furono presentate sotto altro nome durante il corso di Analisi I prima ancora di conoscere le serie di potenze. Il metodo che ti ho elencato prima è attuabile,decidi tu come meglio procedere. Ho provato l'esercizio! In bocca al lupo per gli studi
Ciao, scusa se rispondo dopo un paio d'ore ma sono tornato per dirti che il metodo che hai descritto prima non l'abbiamo studiato e quindi non so come fare. Qualcuno può aiutarmi?
$x=0$ la serie converge banalmente.
$x!=0$ la serie diverge, usa il criterio del rapporto per convincertene (e ricorda che $x^2+1>1$)
$x!=0$ la serie diverge, usa il criterio del rapporto per convincertene (e ricorda che $x^2+1>1$)
"Ernesto01":
$x=0$ la serie converge banalmente.
$x!=0$ la serie diverge, usa il criterio del rapporto per convincertene (e ricorda che $x^2+1>1$)
Grazie mille!
Ciao carminepaolo , allora la tua serie è $\sum_{k=1}^\infty (x^2+1)^n/(n^3)$
Per comodità preferisco sostituire $x= \alpha$ , studiamo allora la serie al variare di $\alpha in RR$
$\sum_{k=1}^\infty (\alpha^2+1)^n/(n^3)$
Per $\alpha = 0 $ avremo la serie $\sum_{k=1}^\infty (1)^n/(n^3)$
Che possiamo facilmente dimostrare convergente.
Per $\alpha != 0 $ avremo la serie $\sum_{k=1}^\infty (\alpha^2+1)^n/(n^3)$
Verifichiamo la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie , ovvero calcoliamo il
$\lim_{n \to \infty} (\alpha^2+1)^n/(n^3)$
tale limite sarà sempre $!=0$
Non vale allora la condizione necessaria di Cauchy , possiamo concludere con certezza allora che la serie diverge. ( Nel caso fosse venuto uguale a 0 , nulla potevamo dire, e dunque continuavamo con lo studio tramite i vari metodi).
Abbiamo così concluso.
Ricapitolando , presa $\sum_{k=1}^\infty (x^2+1)^n/(n^3)$
allora:
$(x=0 )$ $\rightarrow$ converge
$(x!=0 )$ $\rightarrow$ diverge
Per comodità preferisco sostituire $x= \alpha$ , studiamo allora la serie al variare di $\alpha in RR$
$\sum_{k=1}^\infty (\alpha^2+1)^n/(n^3)$
Per $\alpha = 0 $ avremo la serie $\sum_{k=1}^\infty (1)^n/(n^3)$
Che possiamo facilmente dimostrare convergente.
Per $\alpha != 0 $ avremo la serie $\sum_{k=1}^\infty (\alpha^2+1)^n/(n^3)$
Verifichiamo la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie , ovvero calcoliamo il
$\lim_{n \to \infty} (\alpha^2+1)^n/(n^3)$
tale limite sarà sempre $!=0$
Non vale allora la condizione necessaria di Cauchy , possiamo concludere con certezza allora che la serie diverge. ( Nel caso fosse venuto uguale a 0 , nulla potevamo dire, e dunque continuavamo con lo studio tramite i vari metodi).
Abbiamo così concluso.
Ricapitolando , presa $\sum_{k=1}^\infty (x^2+1)^n/(n^3)$
allora:
$(x=0 )$ $\rightarrow$ converge
$(x!=0 )$ $\rightarrow$ diverge
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