Carattere di una serie

[Powervegeta]

Ciao ragazzi, non riesco a trovare un modo per determinare il carattere di questa serie:
$ sum(-1)^n * ln(n^3)/(n^4+5) $
n da +1 a + $ oo $

Mi è venuto in mente di utilizzare Leibniz, visto che è l'unico possibile, però non mi risulta che la serie verifichi la condizione che la successione sia definitivamente non crescente!
Grazie in anticipo

[Rigel1]

Poiché \(\lim_n \frac{\log n^3}{n} = 0\), hai che
\[
\left| (-1)^n \frac{\log n^3}{n^4+5}\right| \leq \frac{n}{n^4+5} < \frac{1}{n^3} =: b_n\qquad\text{definitivamente}.
\]
Poiché \(\sum_n b_n\) è convergente, concludi che la serie di partenza converge assolutamente.

[Powervegeta]

"Rigel":Poiché \(\lim_n \frac{\log n^3}{n} = 0\), hai che
\[
\left| (-1)^n \frac{\log n^3}{n^4+5}\right| \leq \frac{n}{n^4+5} < \frac{1}{n^3} =: b_n\qquad\text{definitivamente}.
\]
Poiché \(\sum_n b_n\) è convergente, concludi che la serie di partenza converge assolutamente.

Ciao, innanzitutto grazie della risposta
L'unica cosa che non capisco è come si faccia a determinare che al numeratore della successione maggiorata ci debba andare $ n $
Come hai fatto a stabilirlo?
Grazie in anticipo

[Rigel1]

Aggiungo un passaggio:

"Rigel":Poiché \(\lim_n \frac{\log n^3}{n} = 0\), hai che...

\(\log n^3 < n\) definitivamente, quindi...

[Powervegeta]

"Rigel":Aggiungo un passaggio:
[quote="Rigel"]Poiché \(\lim_n \frac{\log n^3}{n} = 0\), hai che...

\(\log n^3 < n\) definitivamente, quindi...[/quote]
Ok, ma se io avessi voluto scegliere, al posto di \(n\):
\(\log n^3 < n^5\) sarebbe andato bene lo stesso?

[Rigel1]

"Powervegeta":
Ok, ma se io avessi voluto scegliere, al posto di \(n\):
\(\log n^3 < n^5\) sarebbe andato bene lo stesso?

Questa stima è corretta, ma non ti sarebbe servita a niente (provare per credere).
Ad esempio, se il termine generale della tua serie fosse stato \(a_n = \frac{\log n^3}{n^2}\), nemmeno la stima \(\log n^3 < n\) (definitivamente), seppur corretta, sarebbe andata bene per dimostrare la convergenza di \(\sum_n a_n\); avresti però potuto usare la stima \(\log n^3 < \sqrt{n}\) (definitivamente).
La scelta della stima dipende da ciò che devi fare.

[Powervegeta]

"Rigel":[quote="Powervegeta"]
Ok, ma se io avessi voluto scegliere, al posto di \(n\):
\(\log n^3 < n^5\) sarebbe andato bene lo stesso?

Questa stima è corretta, ma non ti sarebbe servita a niente (provare per credere).
Ad esempio, se il termine generale della tua serie fosse stato \(a_n = \frac{\log n^3}{n^2}\), nemmeno la stima \(\log n^3 < n\) (definitivamente), seppur corretta, sarebbe andata bene per dimostrare la convergenza di \(\sum_n a_n\); avresti però potuto usare la stima \(\log n^3 < \sqrt{n}\) (definitivamente).
La scelta della stima dipende da ciò che devi fare.[/quote]
Ok capito. Grazie mille.