Carattere di una serie.
Salve a tutti ragazzi,
inizia una nuova giornata di duro lavoro. Vi ringrazio per l'aiuto che mi state dando
Ecco a voi il termine generale della serie che ho.
$ root(3)(n^3+e) -n $
La serie è a termini non negativi ed infinitesima. Io ho deciso di applicare il criterio della radice:
$root(n)(root(3)(n^3+e) -n) $
$root(n)(n*root(3)(1+e/n)-n) = root(n)(n-n) = root(n)(0) = 0$ quindi la mia serie converge.
Però sinceramente ho un pò di dubbi... non sono sicuro che l'abbia svolta nel modo giusto. Mi potreste aiutare? Grazie.
inizia una nuova giornata di duro lavoro. Vi ringrazio per l'aiuto che mi state dando
Ecco a voi il termine generale della serie che ho.
$ root(3)(n^3+e) -n $
La serie è a termini non negativi ed infinitesima. Io ho deciso di applicare il criterio della radice:
$root(n)(root(3)(n^3+e) -n) $
$root(n)(n*root(3)(1+e/n)-n) = root(n)(n-n) = root(n)(0) = 0$ quindi la mia serie converge.
Però sinceramente ho un pò di dubbi... non sono sicuro che l'abbia svolta nel modo giusto. Mi potreste aiutare? Grazie.
Risposte
perchè il criterio della radice? non ti conviene razionalizzare quel termine geneale?
Noisemaker, ho dimenticato che è una radice di indice 3 nel termine generale, per questo ho portato la n fuori radice (come l'ho scritta sopra è un'eresia 
.
.
Non penso che mi convenga ancora razionalizzare. E, inoltre, se lo dovessi fare, con un radicale di indice 3, per cosa dovrei moltiplicare?
ricorda che
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Allora in pratica:
visto che $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2) $ mi manca per togliere la radice al numeratore $ a^2 + ab + b^2 $
Quindi..
$(root(3)(n^(3)+e)-n) * [ ((root(3)(n^(3)+e)-n))^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e))/((root(3)(n^(3)+e)-n)^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e))$
Che è uguale a
$ (n^(3)+e-n)/((root(3)(n^(3)+e)-n)^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e)) $
Qui al denominatore posso mettere in evidenza $ n^2 $ per tutti e al numeratore metto in evidenza $n^(3)$
$(n^(3)*((1-1/(n^(2))+e/(n^(3))))/(n^(2)*(2*root(3)(1+e)+1) $
Allora avrò che il limite è uguale a $ 1/(2*root(3)(e+1)+1) $ e l'infinitesimo sarà $ -1 $ quindi la serie diverge.
Bene, io ho scritto le mie fandonie, dimmi dove ho sbagliato
visto che $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2) $ mi manca per togliere la radice al numeratore $ a^2 + ab + b^2 $
Quindi..
$(root(3)(n^(3)+e)-n) * [ ((root(3)(n^(3)+e)-n))^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e))/((root(3)(n^(3)+e)-n)^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e))$
Che è uguale a
$ (n^(3)+e-n)/((root(3)(n^(3)+e)-n)^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e)) $
Qui al denominatore posso mettere in evidenza $ n^2 $ per tutti e al numeratore metto in evidenza $n^(3)$
$(n^(3)*((1-1/(n^(2))+e/(n^(3))))/(n^(2)*(2*root(3)(1+e)+1) $
Allora avrò che il limite è uguale a $ 1/(2*root(3)(e+1)+1) $ e l'infinitesimo sarà $ -1 $ quindi la serie diverge.
Bene, io ho scritto le mie fandonie, dimmi dove ho sbagliato
Aspetta che lo aggiusto
"TheAnswer93":
$root(n)(n*root(3)(1+e/n)-n) = root(n)(n-n) = root(n)(0) = 0$ quindi la mia serie converge.
Però sinceramente ho un pò di dubbi... non sono sicuro che l'abbia svolta nel modo giusto. Mi potreste aiutare? Grazie.
Faccio presente che questo passaggio è errato: così facendo hai cancellato infinitesimi di ordine inferiore è hai stabilito una cosa senza senso. E' un po' come scrivere $\sin x-x\sim x-x=0$ che porta a concludere, erroneamente, che una funzione non nulla è asintoticamente equivalente a quella nulla.
Edit: perché il simbolo di similitudine non viene più fuori????
Grazie ciampax, infatti la serie l'ho postata proprio per quel motivo, ero praticamente certo che avevo fatto dei passaggi illeciti nei riguardi degli infinitesimi.
Sull'edit: mi dimentico di metterlo
.
Sull'edit: mi dimentico di metterlo
.
mi sembra che tu abbia razionalizzato male, poichè $a=\sqrt[3]{n^3-e}$ e $b=n$
Io sicuramente ho sbagliato( adesso agggiusto) perchè ho considerato $ a = root(3)(n^3+e)-n $.
Però, mi sembra che dovrebbe essere $ a= root(3)(n^3+e)$. E' questo che volevi dire?
Però, mi sembra che dovrebbe essere $ a= root(3)(n^3+e)$. E' questo che volevi dire?
si è che non mi usciva il simbolo della radice ... 
Adesso cerco di caricare la foto di tutto il casino che ho fatto
\begin{align}
\sqrt[3]{n^3+e}-n\cdot\frac{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}&= \frac{n^3+e -n^3}{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}\\
&=\frac{ e }{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}\sim \frac{ e }{\sqrt[3]{n^6}+n^2+n^2}\\
&= \frac{ e }{n^2+n^2+n^2}= \frac{ e }{3n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}
\sqrt[3]{n^3+e}-n\cdot\frac{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}&= \frac{n^3+e -n^3}{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}\\
&=\frac{ e }{\sqrt[3]{(n^3+e)^2}+n\sqrt[3]{n^3+e}+n^2}\sim \frac{ e }{\sqrt[3]{n^6}+n^2+n^2}\\
&= \frac{ e }{n^2+n^2+n^2}= \frac{ e }{3n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}
Si C: è questo quello che ho fatto...
Alle fine è diventato un esercizio sulla razionalizzazione il mio :'(
Alle fine è diventato un esercizio sulla razionalizzazione il mio :'(
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo