Carattere di una serie.
Salve ragazzi,
devo determinare il carattere della seguente serie.
$ ((1+1/n)^n -e)^2 $
L'esercizio mi obbliga a risolverlo con il criterio degli infinitesimi.
Per n che tende all'infinito la prima parentesi è un limite notevole e risulta essere $ e $, ma non ci garba :S E non riesco a trovare un modo alternativo di ragionare. Qualcuno mi indirizza per favore?
devo determinare il carattere della seguente serie.
$ ((1+1/n)^n -e)^2 $
L'esercizio mi obbliga a risolverlo con il criterio degli infinitesimi.
Per n che tende all'infinito la prima parentesi è un limite notevole e risulta essere $ e $, ma non ci garba :S E non riesco a trovare un modo alternativo di ragionare. Qualcuno mi indirizza per favore?
Risposte
Per la 1 direi che un quadrato è sempre positivo quindi la serie è a termini positivi.
Per la 2 direi che il limite di $a$ per n tendente ad infinito è 0 quindi la successione è infinitesima.
Per la 3 direi che è quello che voglio sapere e non riesco a farlo
Per la 2 direi che il limite di $a$ per n tendente ad infinito è 0 quindi la successione è infinitesima.
Per la 3 direi che è quello che voglio sapere e non riesco a farlo
oppure determinare con che ordine va a zero il termine generale di quella serie 
scusate mi intrometto solo per dire sta cosa
il termine generale $a_n= \[(1+1/n)^n-e\]^2$
non si potrebbe riscrivere anche così?
$a_n= \[\exp(n\ln(1+1/n))-e\]^2= e^2\[\exp(n\ln(1+1/n)-1)-1\]^2$
adesso usi lo lo sviluppo al secondo ordine del logartimo e poi fai l'asintotico! poi lo elevi al quardato!..
il termine generale $a_n= \[(1+1/n)^n-e\]^2$
non si potrebbe riscrivere anche così?
$a_n= \[\exp(n\ln(1+1/n))-e\]^2= e^2\[\exp(n\ln(1+1/n)-1)-1\]^2$
adesso usi lo lo sviluppo al secondo ordine del logartimo e poi fai l'asintotico! poi lo elevi al quardato!..
@ 21zuclo: Solitamente si parte prima da fuori... Quindi si comincia a scrivere l'approssimazione asintotica dell'esponenziale, per poi andare sul logaritmo.
"gugo82":
@ 21zuclo: Solitamente si parte prima da fuori... Quindi si comincia a scrivere l'approssimazione asintotica dell'esponenziale, per poi andare sul logaritmo.
ah ok!.. io invece avrei fatto così $\exp(n(1/n-(1)/(2n^2)+o((1)/(n^2)))-1)-1=\exp(-(1)/(2n)+o(1/n))-1 \sim -(1)/(2n)$
ovviamente tutto questo per $n\to +\infty$
te invece dici che è meglio fare prima l'asintotico e poi sviluppare il logartimo.. grazie!
Scusate se dò un suggerimento:
\( \displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
\( \displaystyle 0
\( \displaystyle 0<\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}<\frac{e^{2}}{n^{2}}\)
\( \displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
\( \displaystyle 0
\( \displaystyle 0<\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}<\frac{e^{2}}{n^{2}}\)
Uff ragazzi, ho provato a farlo come mi ha suggerito Tem... ma mi viene che la serie diverge mentre dovrebbe convergere :S Se a qualcuno può servire il limite finale dovrebbe venire $-1/2$... se ci riuscite fateci sapere 
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