Carattere di un integrale improprio
In preparazione dell'esame di Analisi:
Stabilire il carattere del seguente integrale improprio:
$\int_{4}^{+\infty} \frac{sqrt(x+7)*arctan(x)}{sqrt(x)+x^2} dx$
Io ho fatto, con il metodo delle maggiorazioni:
$arctanx \rarr \pi/2$
$sqrt(x+7) \rarr sqrt(x^2)$
$sqrt(x)+x^2 \rarr x^2$
Mi diventa:
$\int_{4}^{+\infty} \frac{sqrt(x^2)*\pi/2}{x^2} dx$ cioé: $\pi/2*\int_{4}^{+\infty} \frac{x}{x^2} dx$ cioé si comporta come $1/x$, la quale funzione è divergente per $x \rarr +\infty$.
Quindi si ha che l'integrale è divergente.
Ho ragionato bene?
Stabilire il carattere del seguente integrale improprio:
$\int_{4}^{+\infty} \frac{sqrt(x+7)*arctan(x)}{sqrt(x)+x^2} dx$
Io ho fatto, con il metodo delle maggiorazioni:
$arctanx \rarr \pi/2$
$sqrt(x+7) \rarr sqrt(x^2)$
$sqrt(x)+x^2 \rarr x^2$
Mi diventa:
$\int_{4}^{+\infty} \frac{sqrt(x^2)*\pi/2}{x^2} dx$ cioé: $\pi/2*\int_{4}^{+\infty} \frac{x}{x^2} dx$ cioé si comporta come $1/x$, la quale funzione è divergente per $x \rarr +\infty$.
Quindi si ha che l'integrale è divergente.
Ho ragionato bene?
Risposte
Se l'integrale di una maggiorazione diverge, perchè dovrebbe divergere il tuo integrale?
Se l'int. di una minorazione diverge, allora l'integrale diverge; e, se
di una maggiorazione converge, allora quello converge.
ma per maggiorare $sqrt(x+7)$ invece di $sqrt(x^2)$ possiamo
pure accontentarci di $sqrt(x^(2-\epsilon))$, $0<\epsilon <1$,
.
Se l'int. di una minorazione diverge, allora l'integrale diverge; e, se
di una maggiorazione converge, allora quello converge.
ma per maggiorare $sqrt(x+7)$ invece di $sqrt(x^2)$ possiamo
pure accontentarci di $sqrt(x^(2-\epsilon))$, $0<\epsilon <1$,
.
$lim_(x->oo) ((sqrt(x+7)arctgx)/(sqrt(x)+x^2))/(1/x^(3/2))= lim_(x->oo) ((sqrt(x)arctgx)/(x^2))x^(3/2)= pi/2$
Il limite esiste finito quindi i due integrali hanno lo stesso comportamento, in particolare $int_4^(+oo)dx/x^(3/2)$ converge quindi anche quello dato converge.
Il limite esiste finito quindi i due integrali hanno lo stesso comportamento, in particolare $int_4^(+oo)dx/x^(3/2)$ converge quindi anche quello dato converge.
nn capisco una cosa, ma per $ x \to + \infty $
$ arctang(x)=\pi/2 $
$ \sqrt(x+7) \sim \sqrt(x) $ (no?)
$ \sqrt(x) + x^2 \sim x^2 $
quindi l'integrale diventa
$ lim_{y \to +\infty}int_4^y((\sqrt(x)\pi/2)/x^2)dx=\pi/2*lim_{y \to +\infty}int_4^y(\sqrt(x)/x^2)dx =$
$ = \pi/2*lim_{y \to +\infty}int_4^y (1/\sqrt(x^3))dx=\pi/2*lim_{y \to +\infty}[-2/\sqrt(x)]_4^y=\pi/2*[0+1]=\pi/2$
Quindi l'integrale converge o ho sbagliato qualcosa? Fatemi sapere
$ arctang(x)=\pi/2 $
$ \sqrt(x+7) \sim \sqrt(x) $ (no?)
$ \sqrt(x) + x^2 \sim x^2 $
quindi l'integrale diventa
$ lim_{y \to +\infty}int_4^y((\sqrt(x)\pi/2)/x^2)dx=\pi/2*lim_{y \to +\infty}int_4^y(\sqrt(x)/x^2)dx =$
$ = \pi/2*lim_{y \to +\infty}int_4^y (1/\sqrt(x^3))dx=\pi/2*lim_{y \to +\infty}[-2/\sqrt(x)]_4^y=\pi/2*[0+1]=\pi/2$
Quindi l'integrale converge o ho sbagliato qualcosa? Fatemi sapere
"Zerogwalur":
Io ho fatto, con il metodo delle maggiorazioni:
$arctanx \rarr \pi/2$
$sqrt(x+7) \rarr sqrt(x^2)$
$sqrt(x)+x^2 \rarr x^2$
Quello che gli altri ti stanno cercando di dire è che la seconda maggiorazione è "troppo larga".
Quella radice può benissimo essere maggiorata con $C*\sqrt(x)$ senza modificare il grado della potenza.
Scusate sono stato un po' assente.
In base a quanto dettomi da tutti, direi che l'intervento di antani, unito alle spiegazioni di Gugo82, mi ha chiarito il dubbio.
Tende a $\pi/2$ per $\alpha=3/2$, quindi converge e per il criterio del confronto asintotico (primo punto) l'integrale iniziale converge.
Grazie a tutti.
In base a quanto dettomi da tutti, direi che l'intervento di antani, unito alle spiegazioni di Gugo82, mi ha chiarito il dubbio.
Tende a $\pi/2$ per $\alpha=3/2$, quindi converge e per il criterio del confronto asintotico (primo punto) l'integrale iniziale converge.
Grazie a tutti.
prego
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