Carattere di un integrale

[marcodigital]

Ciao a tutti..
Ho da studiare il carattere di questo integrale improprio:

$int_-a^0 1/(tanx)^3 dx

con a = π/3

siccome f(x) è negativa nell'intervallo [-π/3,0) non posso usare i teoremi del confronto

ho il risultato: so che diverge. Come ci si arriva?

Grazie

[cozzataddeo]

Certo che puoi usare i teoremi del confronto. I teoremi del confronto valgono se l'integranda ha sempre lo stesso segno, positivo o negativo. Le cose si complicano se il segno varia. In alternativa puoi studiare l'assoluta convergenza dell'integrale e quindi ricondurti a considerare una quantità sempre positiva.
In generale vale

$|\int_a^b f(x)dx| <= \int_a_b |f(x)|dx$

dove il segno di uguale vale se il segno dell'integranda è costante nell'intervallo di integrazione. Per cui nel tuo caso si ha

$|\int_(-a)^0 1/(tgx)^3 dx| = \int_(-a)^0 |1/(tgx)^3|dx = -\int_(-a)^0 1/(tgx)^3 dx = \int_(-a)^0 -1/(tgx)^3 dx$

quindi ora l'integranda è positiva e puoi usare nel modo usuale i teoremi studiati.

P.S.: naturalmente l'integrale diverge!

[marcodigital]

Io avevo capito che se un integrale è assolutamente convergente, allora è anche semplicemente convergente...
Quindi vale anche per la divergenza?
Grazie ancora per la risp tempestiva.

[cozzataddeo]

"marcodigital":Io avevo capito che se un integrale è assolutamente convergente, allora è anche semplicemente convergente...

Hai perfettamente ragione...mi sono espresso male, scusami.
Intendevo solo dire che se la tua integranda è sempre negativa all'interno dell'intervallo di integrazione, allora i criteri per verificare la convergenza e la divergenza studiati per le integrande sempre positive valgono ugualmente.
Ho usato impropriamente il termine "convergenza assoluta".
Quello che intendevo dire era questo: fregatene del segno, tanto che sia sempre piú o sempre meno, ciò non cambia il carattere dell'integrale. L'importante è rendersi conto che l'integrande ha sempre lo stesso segno.
Se ti trovi male a maneggiare un'integranda sempre negativa allora puoi benissimo prendere il suo opposto (che sarà sempre positivo) e studiare il carattere dell'integrale con quella, il risultato non cambia.

[marcodigital]

Grazie, ora ho capito...

Pongo un altro quesito:
Ho un integrale improprio
$int_0^1 log(cosx)/x dx$

se non erro f(x) è definita nell'intervallo (0,1).
Da qui, non so più che fare... Devo spezzare in due l'integrale? non riesco a trovare $g(x) = 1/x^a$ per ricondurmi ad una situazione del tipo $lim_{x->p}( f(x)/g(x)) = L > 0 $

Spero che i miei quesiti siano utili anche ad altri...

[cozzataddeo]

"marcodigital":Grazie, ora ho capito...

Di niente, anzi scusami ancora per la confusione che ho fatto...

"marcodigital":Pongo un altro quesito:
Ho un integrale improprio
$int_0^1 log(cosx)/x dx$

se non erro f(x) è definita nell'intervallo (0,1).

Beh, in generale la funzione integranda è definita ben oltre l'intervallo che hai indicato, tuttavia a te interessa solo il suo comportamento in quell'intervallo, dato che l'integrale ha per estremi proprio 0 e 1.
Premesso ciò, la tua considerazione è sostanzialmente corretta, l'integranda esiste nell'intervallo semiaperto $(0,1]$, il problema si pone in $x=0$ dove l'integranda non è definita.
Per inciso, anche in questo esercizio l'integranda è sempre negativa (perché... ).

"marcodigital":Da qui, non so più che fare... Devo spezzare in due l'integrale? non riesco a trovare $g(x) = 1/x^a$ per ricondurmi ad una situazione del tipo $lim_{x->p}( f(x)/g(x)) = L > 0 $

Certo, la tua osservazione è corretta, ed il motivo è semplice: per $x->0^+$ l'integranda non va all'infinito, infatti si ha

$lim_(x->0^+)(log(cosx))/x = $(Hopital)$ = lim_(x->0^+)(1/cosx * (-senx))/1 = lim_(x->0^+) -tgx = 0$

per cui l'integranda è addirittura infinitesima!
In sintesi la tua funzione è prolungabile per continuità in $x=0$ ponendo $f(0) = 0$ e dunque è integrabile in tutto l'intervallo $[0,1]$ (chiuso!), perciò l'integrale converge tranquillamente.

"marcodigital":Spero che i miei quesiti siano utili anche ad altri...

Senza dubbio!

Buono studio!

[marcodigital]

l'integranda esiste nell'intervallo semiaperto (0,1]

Si, hai ragione, errore di battitura..

anche in questo esercizio l'integranda è sempre negativa

perchè con x che appartiene a (0,1] 0

In sintesi la tua funzione è prolungabile per continuità in x= 0 ponendo f(0) = 0 e dunque è integrabile in tutto l'intervallo (chiuso!), perciò l'integrale converge tranquillamente.

Quindi in definitiva se $lim_{x->p} f(x) = 0$ cioè f(x) è un infinitesimo per x->p allora $int_p^a f(x)$ nell'intervallo [a,p) converge?

[cozzataddeo]

"marcodigital":

anche in questo esercizio l'integranda è sempre negativa

perchè con x che appartiene a (0,1] 0
Esatto!

"marcodigital":

In sintesi la tua funzione è prolungabile per continuità in x= 0 ponendo f(0) = 0 e dunque è integrabile in tutto l'intervallo (chiuso!), perciò l'integrale converge tranquillamente.

Quindi in definitiva se $lim_{x->p} f(x) = 0$ cioè f(x) è un infinitesimo per x->p allora $int_p^a f(x)$ nell'intervallo [a,p) converge?

Non esattamente. La questione è piú generale.
L'integrazione di una funzione in un intervallo limitato può non essere possibile se la funzione va all'infinito in qualche punto (interno o di frontiera) dell'intervallo.
Nel tuo caso l'unico punto che può creare problemi è $x=0$ perché lí la funzione integranda non è definita. Tuttavia si verifica che per $x->0^+$ la funzione non va all'infinito e quindi la funzione è integrabile, indipendentemente dal valore specifico del limite della funzione in quel punto (in questo caso 0).

In altre parole, tu sai che la funzione sarebbe stata integrabile anche se fosse andata all'infinito, purché con un ordine espresso da un numero reale inferiore a 1. La tua funzione invece non va neppure all'infinito, per cui l'integrale converge a maggior ragione.

[marcodigital]

Perfetto, il tuo ragionamento mi è chiaro..
Sul foglio dove ho una traccia dei risultati, mi dice testualmente:" $log(cosx)/x$ asintotico a $-x/2$ per x->0 . Converge "
sinceramente non capisco come si arrivi a questa situazione (praticamente tutti gli esercizi li risolve così).

[Camillo]

La ragione è che per $x rarr 0 $ ,$cosx $ è asintotico a $ 1-x^2/2$ e $ log ( 1-x^2/2)$ è asintotico a $-x^2/2 $; quindi

$log(cosx)/x $ è asintotico a $ -x/2 $.

[marcodigital]

ok, quindi ha utilizzato lo sviluppo di MacLaurin $cosx = 1 - x^2/2 + o(n^2)$ asintotico a $1-x^2/2$ per x->0 ottenendo $ln(1-x^2/2)/x$ poi hai utilizzato lo sviluppo $ln(1+ (-x^2/2)) = -x^2/2 + o(x^2)$ asintotico a $-x^2/2$ per x-> 0, rimane $-x^2/(2x) = -x/2$ Giusto questo procedimento?

[Camillo]

Sì, esatto

[marcodigital]

Perfetto.. Grazie!!