Carattere di ${n(sqrt(n+1)-sqrt(n))log((n^2+3)/(n+1)^2)cos(n)}$

[clivend]

Salve gente di matematicamente!

Posto un altro esercizio da un compito di analisi sperando in un vostro aiuto, in quanto non credo molto alle mie intuizioni

Studiare il carattere della successione

${n(sqrt(n+1)-sqrt(n))log((n^2+3)/(n+1)^2)cos(n)}$

Analisi dei valori termine per temine, al crescere di n verso infinito

1) $n$->$+oo$ in quanto lineare
2) $(sqrt(n+1)-sqrt(n))$->$0$ dopo aver eseguito la razionalizzazione

PS questa prima forma indeterminata $oo*0$, riscritta come $n/(1/(sqrt(n+1)-sqrt(n)))$, tende a infinito?

3) $log((n^2+3)/(n+1)^2)$->$log(1/3)$ dopo aver sviluppato il quadrato e raccolto $n^2$
4) $cos(n)$->non esiste, la funzione oscilla tra -1 e 1

Conclusioni? help needed... grazie a tutti in anticipo

[Noisemaker]

L'errore è questo

"clivend":
3) $log((n^2+3)/(n+1)^2)$->$1/3$ dopo aver sviluppato il quadrato e raccolto $n^2$

Osservando che :
\begin{align}
n\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n \right)&= \frac{-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \stackrel{ +\infty}{\sim} \frac{-n }{2\sqrt n}=-2\sqrt n \\
\ln\left(\frac{n^2+3}{(n+1)^2}\right)&\sim \left(\frac{n^2+3}{(n+1)^2}-1\right)= \frac{-2n+2}{(n+1)^2}\sim \frac{-2}{n},
\end{align}
ed invocando un teorema utile quando hai che fare con funzioni limitate, dovresti concludere ...

[clivend]

ciao noisemaker, ho dato fondo alle mie scarse nozioni teoriche ma non ho ancora trovato il bandolo della matassa

ho capito le semplificazioni che hai sfruttato, tuttavia ad esempio $sqrt(n)$ non è limitata (intesa come limitata superiormente ed inferiormente) o sbaglio? è definita per n positivo ma ha valori in tutto R

inoltre ti riferisci al criterio di convergenza di cauchy per le successioni? mi sembra il più adeguato in questo caso

ti prego di perdonarmi, è solo che devo andare a discuterlo in sede di orale e vorrei avere le idee molto chiare

[clivend]

primo e ultimo up

[21zuclo]

con quello che ha fatto Noisemaker sopra

ah chiamo $a_n$ la tua successione

hai ottenuto che $\lim_(n\to +\infty) a_n$ \(\sim\) $-2\sqrt{n}\cdot (-2)/(n)\cdot \cos(n)=(4 \cos(n))/(n)\to ...$

cosa fa la successione asintotica per $n\to +\infty$ ?

[clivend]

silly me! direi che converge a 0...

l'ultimo buco nero è questo passaggio

\begin{align} \ln\left(\frac{n^2+3}{(n+1)^2}\right)&\sim \left(\frac{n^2+3}{(n+1)^2}-1\right) \end{align}

quale proprietà mi sfugge?

[Noisemaker]

è la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che

\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 &\qquad f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}

[clivend]

bentornato noisemaker vi ringrazio molto siete stati precisi e disponibili finalmente è tutto chiaro, buona serata!