Carattere della serie in funzione di parametro reale

[gianni971]

Buonasera dovrei discutere il carattere della serie in funzione del parametro reale x:
\(\sum_{ }^{ }\frac{x^n}{n!}\)
Ho visto che nella soluzione l'esercitatore applica subito il criterio del rapporto, nonostante sia necessario che la serie sia a termini positivi.

Non sarebbe corretto distinguere tra $x>0$ (per cui la serie risulta a termini positivi) e $x<0$ (per cui la serie risulta a segni alterni) e poi, applicando rispettivamente il criterio del rapporto e di Leibnitz, discutere il carattere della serie?

[pilloeffe]

Ciao gianni97,

Si ha:

$ sum_{n = 0}^{+\infty } frac{x^n}{n!} = e^x \qquad \AA x \in \RR $

Se ne è già discusso ampiamente ad esempio qui

[gianni971]

Ok forse ho utilizzato un caso particolare come esempio, ma nel caso in cui mi si dica di discutere il carattere di una serie in funzione di un parametro reale ed esso compaia alla base di un esponenziale, come mi comporto? Nel senso, devo discutere prima per quali valori di esso la serie é a termini positivi e quando é a segno variabile (o a segni alterni) e poi applicare i relativi criteri oppure applico immediatamente i criteri ed esprimo i risultati che essi mi danno in funzione del parametro?

[pilloeffe]

Conviene studiare la serie assoluta, senz'altro a termini positivi, ed applicare i relativi criteri: se essa converge per alcuni valori del parametro come dovresti sapere anche la serie iniziale senz'altro converge per quei valori. Occhio però che la serie iniziale potrebbe convergere anche per valori del parametro per i quali la serie assoluta non converge. Un esempio di quanto sto dicendo lo puoi trovare in questo recente thread.