Carattere della serie al variare di un parametro

[IngMarcon]

Buongiorno,
vorrei chiedere conferma su un esercizio da me svolto ( purtroppo il professore non da le soluzioni ) riguardante una serie, come da titolo.
$ sum_(n > \1) |Sin(e^(1/n))-sin(1)|^alpha $
Ovviamente dato il modulo già è a termini positivi, allora è inutile verificarlo.
Passo allo studio del $ lim_(x -> oo ) an => 0 $
Sviluppo con taylor all'interno del seno fino al secondo termine $ e^(1/n)=1+1/n+o(1/n) $
di conseguenza noto che il seno si puo scomporre con la somma di archi
$ sin(1)cos(1/n)+sin(1/n)cos(1) $ a sto punto sviluppo il coseno al primo termine cioè 1 cosi poi posso cancellare i due sen(1)
e sviluppo il sen(1/n) al primo termine cosi mi rimane:
$ lim_(x -> oo ) |cos(1)/n|^alpha $
Da qui ho detto che per la condizione necessaria la verifica viene per $ alpha >0 $
la convergenza della serie invece per $ alpha >1 $ utilizzando il metodo del confronto asintotico.
Vorrei sapere se anche a voi risulta giusto il mio ragionamento, se si allora se si poteva arrivare allo stesso risultato tramite altre vie piu brevi. Grazie in Anticipo

[IngMarcon]

A perfetto quindi il mio metodo funziona ma anche questo qui va bene, ti ringrazio =)