Carattere della serie

[scozzese-votailprof]

Salve a tutti, avrei un problema su questa serie:

Studiare Il carattere della serie.


$\sum_{n=1}^\infty\sin^2(frac{1}{sqrt(n^2+ln(n))})$


descrivo brevemente come ho preceduto:

dopo aver capito che è una serie a termini positivi e che il termine an--->0 ho prima effettuato la sostituzione dell'argomento del seno tramite gli "o" piccoli e quindi dopo essermi ricondotto nella seguente serie : $frac{1}{sqrt(n^2+ln(n))}$
ho provato con il criterio del rapporto, il criterio della radice, il criterio del confronto confrontando la mia serie con $1/n^(1/2)$ però tutti mi davano come risultato 1 e quindi non posso dire nulla rispetto al carattere della serie. Adesso io non capisco se ho commesso qualche errore applicando i teoremi o sono completamente fuori strada.

Grazie anticipatamente a tutti

[salvozungri]

Ricordando che $sin^2(x)~=x^2$ per $x->0$ allora:

$sin^2(1/sqrt(n^2+log(n)))~= (1/sqrt(n^2+log(n)))^2= 1/(n^2+log(n))$

Adesso prova a trarre le dovute conclusioni

[InCuBuS_89]

la successione è asintotica a $1/(n^2)$ perchè n^2 è un infinito di ordine maggiore rispetto al logaritmo, ed essendo 2>1 allora converge (serie armonica generalizzata)

[scozzese-votailprof]

O capito, io ho sbagliato il fatto dell'approssimazione quindi adesso non mi resta che confrontarla con $1/n^2$ e quindi essendo 2>1 La seconda serie converge e quindi converge anche la serie di partenza esatto? Comunque grazie per l'aiuto

[salvozungri]

Esatto!