Carattere della serie
Mi sapreste dare una mano a capire il carattere di questa serie?
$\sum_{n=1}^\infty (root(3)n+sin(1/n))/(sqrt(n^3+n+1)) $
si applica il criterio del rapporto ?? se si come ?
$\sum_{n=1}^\infty (root(3)n+sin(1/n))/(sqrt(n^3+n+1)) $
si applica il criterio del rapporto ?? se si come ?
Risposte
La serie è a termini positivi, puoi perciò usare il criterio del confronto asintotico notando che
$\frac{\root{3}{n} + \sin(\frac{1}{n})}{\sqrt{n^3 + n + 1}} \sim \frac{1}{n^{\frac{7}{6}}}$ per $n \to +\infty$
Difatti il numeratore va all'infinito come $n^{\frac{1}{3}}$, il denominatore come $n^{\frac{3}{2}}$...
$\frac{\root{3}{n} + \sin(\frac{1}{n})}{\sqrt{n^3 + n + 1}} \sim \frac{1}{n^{\frac{7}{6}}}$ per $n \to +\infty$
Difatti il numeratore va all'infinito come $n^{\frac{1}{3}}$, il denominatore come $n^{\frac{3}{2}}$...
ok il seno tende a 0 al numeratore resta $n^(1/3)$
tenendo in considerazione al denominatore l'esponente maggiore , mi trovo con $n^(3/2)$
non capisco il confronto che hai fatto con $1 / n^(7/6)$ da dove spunta fuori ??
tenendo in considerazione al denominatore l'esponente maggiore , mi trovo con $n^(3/2)$
non capisco il confronto che hai fatto con $1 / n^(7/6)$ da dove spunta fuori ??
Dal rapporto $(n^(1/3))/(n^(3/2))$ (basta che applichi le proprietà delle potenze 
)
)
quindi converge a 0 ?
Converge a zero cosa?
dico la serie è convergente.
i limite per n che va a infinito viene 0... è corretto ?
i limite per n che va a infinito viene 0... è corretto ?
Che il limite vada a 0 è una condizione necessaria ma non sufficiente... per studiare il carattere della serie $1/n^(7/6)$ ricordati che questa è la serie armonica generalizzata
allora converge a 0 in quanto l'esponente di n è maggiore di 1, la serie armonica con n^1 infatti è divergente.
più il grado aumenta e più velocemente converge a 0...
correggimi se sbaglio.
più il grado aumenta e più velocemente converge a 0...
correggimi se sbaglio.
Ohmygodwhatamess...
Ok, $1/n^(7/2) \to 0$ ma non c'entra niente il fatto che l'esponente sia $>1$: infatti anche $1/n^(1/2) \to 0$ epperò la serie $\sum 1/n^(1/2)$ diverge.
Insomma, per farla breve, il fatto che l'esponente $alpha$ (positivo) della serie armonica generalizzata $\sum 1/n^alpha$ sia $<=1$ o $>1$ non pregiudica il tendere a zero degli addendi, però esso pregiudica la convergenza della serie: in particolare se $alpha >1$ allora $\sum 1/n^alpha$ converge; se $alpha<=1$, $\sum 1/n^alpha$ diverge.
Ok, $1/n^(7/2) \to 0$ ma non c'entra niente il fatto che l'esponente sia $>1$: infatti anche $1/n^(1/2) \to 0$ epperò la serie $\sum 1/n^(1/2)$ diverge.
Insomma, per farla breve, il fatto che l'esponente $alpha$ (positivo) della serie armonica generalizzata $\sum 1/n^alpha$ sia $<=1$ o $>1$ non pregiudica il tendere a zero degli addendi, però esso pregiudica la convergenza della serie: in particolare se $alpha >1$ allora $\sum 1/n^alpha$ converge; se $alpha<=1$, $\sum 1/n^alpha$ diverge.
"Gugo82":
... ma non c'entra niente il fatto che l'esponente sia $>1$...
Mi sa che c'è un errore di battitura.
okok ho capito, la matematica è precisione, e non avevo espresso precisamente il concetto, ora è tutto chiaro grazie a tutti !
"Tipper":
[quote="Gugo82"]... ma non c'entra niente il fatto che l'esponente sia $>1$...
Mi sa che c'è un errore di battitura.
[/quote]Ovviamente c'entra... Però non nel senso in cui lo leggeva tulka.
Voglio dire, qualunque sia $alpha>0$, la successione di termine generale $1/n^alpha$ è infinitesima; quindi il fatto che l'esponente della serie armonica generalizzata sia $>1$ o $<=1$ non influenza il carattere della successione degli addendi (che è e resta infinitesima).
Però l'essere $alpha$ $>1$ o $<=1$ influenza la regolarità della serie $\sum 1/n^alpha$: infatti la serie converge se $alpha>1$ mentre diverge se $alpha<=1$.
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