Carattere della serie
Io devo studiare il carattere della serie.
Prima domanda: io con il teorema del criterio integrale posso trovare se una successione è convergente o divergente e il valore, per il quale, eventualmente converge?
L'esercizio chiede tramite criterio del confronto di vedere se la serie è convergente o divergente.
$sum_{n=1}^infty (n^2 + 23)/(n^3 + 5)$
Però la slide mi mette un'altra soluzione:
$(n^2+23)/(n^3 +5)>= n^2/(n^3+5n^3)= 1/5 * 1/n$ La slide non converge per confronto.
Io trovo però $1/6n$ che non converge. Quindi per confronto anche la serie non converge.
Ho sbagliato io a ragionare?
Prima domanda: io con il teorema del criterio integrale posso trovare se una successione è convergente o divergente e il valore, per il quale, eventualmente converge?
L'esercizio chiede tramite criterio del confronto di vedere se la serie è convergente o divergente.
$sum_{n=1}^infty (n^2 + 23)/(n^3 + 5)$
Però la slide mi mette un'altra soluzione:
$(n^2+23)/(n^3 +5)>= n^2/(n^3+5n^3)= 1/5 * 1/n$ La slide non converge per confronto.
Io trovo però $1/6n$ che non converge. Quindi per confronto anche la serie non converge.
Ho sbagliato io a ragionare?
Risposte
Aggiungo anche quest'altro esercizio.
Dire se la serie è convergente o divergente di:
$sum_{n=1}^infty (n-√(n^2 -1))/(√(n+2))*$
Io posso usare il criterio del confronto a termini positivi.
Trovo che quella serie è $<=n/(√(n)) = √n$ che quindi diverge per confronto.
Problema: il mio libro mi solo che converge e mi da solo il risultato senza farmi vedere i passaggi
Dire se la serie è convergente o divergente di:
$sum_{n=1}^infty (n-√(n^2 -1))/(√(n+2))*$
Io posso usare il criterio del confronto a termini positivi.
Trovo che quella serie è $<=n/(√(n)) = √n$ che quindi diverge per confronto.
Problema: il mio libro mi solo che converge e mi da solo il risultato senza farmi vedere i passaggi
"Gianalberto":
Però la slide mi mette un'altra soluzione:
$(n^2+23)/(n^3 +5)>= n^2/(n^3+5n^3)= 1/5 * 1/n$
Sì, come soluzione è ok, ma preferisco il classico confronto asintotico
$(n^2+23)/(n^3+5)~1/n$ che diverge.
"Gianalberto":
Dire se la serie è convergente o divergente di:
$ sum_{n=1}^infty (n-√(n^2 -1))/(√(n+2))* $
Io posso usare il criterio del confronto a termini positivi.
Trovo che quella serie è $ <=n/(√(n)) = √n $ che quindi diverge per confronto.
Problema: il mio libro mi solo che converge e mi da solo il risultato senza farmi vedere i passaggi
In generale, fosse $\le \sqrt(n)$ tu hai che è minorata da una serie divergente ma nessuno ti assicura la divergenza: sarebbe così se l'avessi maggiorata a partire da una serie divergente. In pratica trovi che "qualcosa di più grande" diverge, ma chi ti dice che diverge anche la tua?
Comunque attenzione al modo di operare perché è uno di quei casi noiosi che si trovano anche nei limiti. La sottrazione tra termini dello stesso ordine di grandezza va presa un po' con i guanti mentre con l'addizione non ci sono problemi.
Prendiamo il termine generale e moltiplichiamolo/dividiamolo per una stessa quantità non nulla
$\frac{n-\sqrt(n^2-1)}{\sqrt(n+2)}\cdot \frac{n+\sqrt(n^2-1)}{n+\sqrt(n^21)}=\frac{n^2-n^2+1}{\sqrt(n+2)(n+\sqrt(n^2-1))}=$
$=\frac{1}{n\sqrt(n+2)+\sqrt((n^2-1)(n+2))}~1/(n\sqrt(n))$ che converge.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo