Capire se un'equazione ammette soluzioni

[Summerwind78]

Ciao a tutti,

sto cercando di risolvere un esercizio se mi chiede di capire se la seguente equazione ammette soluzioni

$4lnx+x^2-6x=0$


se si dimostra che ammette soluzioni chiede di determinare il numero esatto di soluzioni

E' da tanto che scrivo in questo forum, e so bene che devo proporre il mio tentativo di soluzione prima di chiedere aiuto, ma in questo caso non saprei proprio da che parte iniziare

Siccome il testo non mi chiede quali valori di $x$ l'equazione è verificata, mi trovo un po' spiazzato.

Qualcuno mi da solo un suggerimento da cui partire? voglio arrivare da solo alla soluzione, mi serve però uno spunto da cui incominciare a ragionare


Grazie mille a tutti

[axpgn]

Puoi iniziare con il dominio che è $(0,+infty)$ e da questo si vede facilmente (guardando il limite agli estremi) che da una parte è negativa e dall'altra positiva e siccome è continua lo zero da qualche parte lo deve toccare ...
Perciò ne avrà almeno una ...
Poi guardiamo la derivata ... $4/x+2x-6=0$ la quale è positiva negli intervalli $(0,1)$ e $(2,+infty)$ e negativa $(1,2)$.

Quindi la funzione cresce fino al punto $1$ ma rimane sempre negativa poi decresce fino a $2$ e quindi è ancora negativa e da lì in poi ritorna a crescere indefinitamente verso $+infty$
La conclusione è che ha una sola soluzione.

Cordialmente, Alex

[Summerwind78]

Grazie mille,

Davvero molto chiaro.

capito perfettamente