Capire se son giusti i punti di analiticità.
Ciao a tutti..
dopo aver cercato dove $ f(z)=2-|z|^2z $ è analitica con le condizioni di Cauchy-Riemann mi è venuto che risulta analitica in $ z=0 $
Come faccio a capire che è giusto? Calcoli a parte, per avere una contro prova visto che non ho soluzioni sottomano. Grazie
dopo aver cercato dove $ f(z)=2-|z|^2z $ è analitica con le condizioni di Cauchy-Riemann mi è venuto che risulta analitica in $ z=0 $
Come faccio a capire che è giusto? Calcoli a parte, per avere una contro prova visto che non ho soluzioni sottomano. Grazie
Risposte
Scriviamo:
[tex]$f(z,\overline{z}) =2-(z\overline{z}) z=2-z^2 \overline{z}$[/tex];
la condizione di olomorfia si esprime mediante la relazione [tex]\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0[/tex] e, visto che [tex]\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=-z^2[/tex], tale condizione è soddisfatta se e solo se [tex]$-z^2=0$[/tex], ossia solo se [tex]$z=0$[/tex].
[tex]$f(z,\overline{z}) =2-(z\overline{z}) z=2-z^2 \overline{z}$[/tex];
la condizione di olomorfia si esprime mediante la relazione [tex]\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0[/tex] e, visto che [tex]\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=-z^2[/tex], tale condizione è soddisfatta se e solo se [tex]$-z^2=0$[/tex], ossia solo se [tex]$z=0$[/tex].
Non conoscevo la derivazione rispetto al coniugato... non ci è stata menzionata. 
In verità è un trucco poco usato e non si spiega quasi mai; io stesso l'ho usato/visto usare pochissime volte.
Qui l'ho usato come modo poco formale per verificare il tuo risultato... Ed evitarmi tutti i conti.
Qui l'ho usato come modo poco formale per verificare il tuo risultato... Ed evitarmi tutti i conti.
Una funzione analitica in un punto solo... E che cosa significa? Che la serie di Taylor converge con raggio di convergenza nullo?
Non incasiniamo i termini, per favore.
Quella funzione è derivabile solo in un punto; quindi non può essere analitica intorno a quel punto (altrimenti avrebbe tutte le derivate intorno a quel punto, essendo somma di una serie di potenze).
Le possibilità, dunque, mi paiono solo due: o la serie di Taylor relativa a quel punto ha r.d.c. nullo; oppure tale serie non ha per somma la funzione da cui è costruita (come accade per [tex]$e^{-\frac{1}{x^2}}$[/tex] in [tex]$0$[/tex] nel reale)...
Però, a questo punto, mi viene un dubbio: non si dovrebbe specificare come s'intende costruire la serie di Taylor?
Ossia specificare se si vuole considerare [tex]$f$[/tex] come funzione della sola [tex]$z$[/tex] (nonostante ci sia una dipendenza anche da [tex]$\overline{z}$[/tex]) e quindi scrivere uno sviluppo del tipo [tex]\sum a_n z^n[/tex]; oppure se si vuole cosiderare [tex]$f$[/tex] come funzione di due variabili [tex]$z,\overline{z}$[/tex] e costruire uno sviluppo del tipo [tex]\sum c_{n,m} z^n\overline{z}^m[/tex] (ammesso e non concesso che ciò abbia senso!).
Su queste cose non sono molto ferrato... Ci vorrebbe qualcuno esperto di tecniche di Analisi Complessa.
Quella funzione è derivabile solo in un punto; quindi non può essere analitica intorno a quel punto (altrimenti avrebbe tutte le derivate intorno a quel punto, essendo somma di una serie di potenze).
Le possibilità, dunque, mi paiono solo due: o la serie di Taylor relativa a quel punto ha r.d.c. nullo; oppure tale serie non ha per somma la funzione da cui è costruita (come accade per [tex]$e^{-\frac{1}{x^2}}$[/tex] in [tex]$0$[/tex] nel reale)...
Però, a questo punto, mi viene un dubbio: non si dovrebbe specificare come s'intende costruire la serie di Taylor?
Ossia specificare se si vuole considerare [tex]$f$[/tex] come funzione della sola [tex]$z$[/tex] (nonostante ci sia una dipendenza anche da [tex]$\overline{z}$[/tex]) e quindi scrivere uno sviluppo del tipo [tex]\sum a_n z^n[/tex]; oppure se si vuole cosiderare [tex]$f$[/tex] come funzione di due variabili [tex]$z,\overline{z}$[/tex] e costruire uno sviluppo del tipo [tex]\sum c_{n,m} z^n\overline{z}^m[/tex] (ammesso e non concesso che ciò abbia senso!).
Su queste cose non sono molto ferrato... Ci vorrebbe qualcuno esperto di tecniche di Analisi Complessa.
"gugo82":
Però, a questo punto, mi viene un dubbio: non si dovrebbe specificare come s'intende costruire la serie di Taylor?
Ossia specificare se si vuole considerare [tex]$f$[/tex] come funzione della sola [tex]$z$[/tex] (nonostante ci sia una dipendenza anche da [tex]$\overline{z}$[/tex]) e quindi scrivere uno sviluppo del tipo [tex]\sum a_n z^n[/tex]
Ma in termini piu astratti, come faccio a capire generalmente se il risultato che mi esce è accettabile? intendo dire, nelle funzioni reali, quando qualcosa non è derivabile per esempio ha una discontinuità in quel punto (o altro). Come faccio a fare un ragionamento analogo per queste funzioni? Giusto per avere una pervenza di sicurezza quando finisco un esercizio all'esame.
"gugo82":
In verità è un trucco poco usato e non si spiega quasi mai; io stesso l'ho usato/visto usare pochissime volte.
Qui l'ho usato come modo poco formale per verificare il tuo risultato... Ed evitarmi tutti i conti.
Sul Greene-Krantz ho trovato la seguente definizione:
Una funzione di classe $C^1$ $f:U->CC$ definita un sottoinsieme aperto $U$ di $CC$ è detta olomorfa se $(delf)/(del\barz)=0$ in ogni punto di $U$.
Sinceramente non capisco questa definizione, nel senso che ero abituato a considerare olomorfa una funzione definita in un aperto di $CC$ e con derivata prima continua.
Scrivere $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$ è solo un modo compatto di scrivere le condizioni di Cauchy-Riemann.
"maxsiviero":
[quote="gugo82"]In verità è un trucco poco usato e non si spiega quasi mai; io stesso l'ho usato/visto usare pochissime volte.
Qui l'ho usato come modo poco formale per verificare il tuo risultato... Ed evitarmi tutti i conti.
Sul Greene-Krantz ho trovato la seguente definizione:
Una funzione di classe $C^1$ $f:U->CC$ definita un sottoinsieme aperto $U$ di $CC$ è detta olomorfa se $(delf)/(del\barz)=0$ in ogni punto di $U$.
Sinceramente non capisco questa definizione, nel senso che ero abituato a considerare olomorfa una funzione definita in un aperto di $CC$ e con derivata prima continua.[/quote]
quadra con la teoria del coniugato di cui abbiamo parlato prima.. però credo di aver capito che la funzione deve comunque essere stazionaria nei punti analitici. E se non la disegni (dovresti avere un grafico in 3D), non lo puoi capire così a intuito se quello che hai calcolato è giusto, se nn seguendo i tuoi calcoli.
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