Capire se serie è a termini di segni positivi o alterni
salve a tutti, ho un problema diciamo "banale" sulle serie.
Non riesco a capire quando una serie è a termini di segno alterno o a termini di segno qualunque.Vi posto un esempio:
$\sum_{n=1}^oo$ $(2n+1)/(2^n)$ questa serie come si può vedere ha segni positivi quindi è a termini positivi.
$\sum_{n=2}^oo$ $(-1)^n$$(2n+1)/(2^n)$ questa serie è di segno alterno visto ke presenta il termine $(-1)^n$
$\sum_{n=1}^oo$ $(sen(n))/(n^2)$ questa invece come mai è di segno variabile?
(questo esercizio l'ho preso da voi https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 070713738/)
un'altra piccola precisazione volevo sapere.Nelle serie a termini di segno alterno dove utilizzo LEIBNIZ, un criterio che devo controllare per sapere se la serie è convergente è questo:
$a_n$ > $a_n+1$ dove $a_n$ è il termine generale della serie.
in pratica mi dice che la serie è convergente se il termine generale è decrescente al termine $a_n+1$ quindi mi basta sapere che la funzione $a_n$ è decrescente? come faccio a capirlo..dallo studio della derivata prima?
grazie a tutti!
Non riesco a capire quando una serie è a termini di segno alterno o a termini di segno qualunque.Vi posto un esempio:
$\sum_{n=1}^oo$ $(2n+1)/(2^n)$ questa serie come si può vedere ha segni positivi quindi è a termini positivi.
$\sum_{n=2}^oo$ $(-1)^n$$(2n+1)/(2^n)$ questa serie è di segno alterno visto ke presenta il termine $(-1)^n$
$\sum_{n=1}^oo$ $(sen(n))/(n^2)$ questa invece come mai è di segno variabile?
(questo esercizio l'ho preso da voi https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 070713738/)
un'altra piccola precisazione volevo sapere.Nelle serie a termini di segno alterno dove utilizzo LEIBNIZ, un criterio che devo controllare per sapere se la serie è convergente è questo:
$a_n$ > $a_n+1$ dove $a_n$ è il termine generale della serie.
in pratica mi dice che la serie è convergente se il termine generale è decrescente al termine $a_n+1$ quindi mi basta sapere che la funzione $a_n$ è decrescente? come faccio a capirlo..dallo studio della derivata prima?
grazie a tutti!
Risposte
"TommyR22":
$\sum_{n=1}^oo$ $(sen(n))/(n^2)$ questa invece come mai è di segno variabile?
dipende dal seno, positivo nel primo e secondo quadrante, negativo terzo e quarto..
$-1<=sinn<=1$
Devi tener presente che $sen (n) $ assume valori positivi e negativi , mentre il denominatore ($n^2)$ è senz'altro sempre positivo.
Quando calcoli $ sen 1 $ devi intendere che 1 è in radianti !!! e quindi $ sen 1 , sen 2, sen 3 $ danno valori positivi mentre $ sen 4, sen 5 $ danno valori negativi etc .
Quando calcoli $ sen 1 $ devi intendere che 1 è in radianti !!! e quindi $ sen 1 , sen 2, sen 3 $ danno valori positivi mentre $ sen 4, sen 5 $ danno valori negativi etc .
ahh ecco...ma invece per il criterio di leibniz ho capito bene?
"TommyR22":
quindi mi basta sapere che la funzione $a_n$ è decrescente? come faccio a capirlo..dallo studio della derivata prima?
Naturalmente non dimenticarti di verificare che $lim_(n->+infty)a_n=0$
Poi devi fare vedere che, almeno da un certo $n_0$ in poi vale la relazione $a_(n+1)<=a_n$
operativamente puoi sostituire n+1 al posto di n e verificare per quale valore (se esiste) è soddisfatta la disequazione.
ma ad esempio ho queste serie:
1) $\sum_{n=1}^oo (sen^2(arctan(1/n)-sen(1/n))$ --->questa ad esempio è a termini positivi visto ke ha $sen^2$ ?
2) $\sum_{n=1}^oo ((n^2+logn)/(n+(-2)^n))$ ---->quì ho visto che se $n$ è dispari il denominatore è negativo se $n$ pari è positivo quindi?
3) $\sum_{n=1}^oo ((sqrt(n^3+n)-sqrt(root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ ---> quì credo che devo controllare solo il numeratore e quindi i radicali e poichè $ sqrt(root(3)(n^2+1)$ è maggiore di $(sqrt(n^3+n)$ allora è a segni nn positivi ?
grazie delle risposte ^.^
1) $\sum_{n=1}^oo (sen^2(arctan(1/n)-sen(1/n))$ --->questa ad esempio è a termini positivi visto ke ha $sen^2$ ?
2) $\sum_{n=1}^oo ((n^2+logn)/(n+(-2)^n))$ ---->quì ho visto che se $n$ è dispari il denominatore è negativo se $n$ pari è positivo quindi?
3) $\sum_{n=1}^oo ((sqrt(n^3+n)-sqrt(root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ ---> quì credo che devo controllare solo il numeratore e quindi i radicali e poichè $ sqrt(root(3)(n^2+1)$ è maggiore di $(sqrt(n^3+n)$ allora è a segni nn positivi ?
grazie delle risposte ^.^
"TommyR22":
3) $\sum_{n=1}^oo ((sqrt(n^3+n)-sqrt(root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ ---> quì credo che devo controllare solo il numeratore e quindi i radicali e poichè $ sqrt(root(3)(n^2+1)$ è maggiore di $(sqrt(n^3+n)$ allora è a segni nn positivi
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n^3+n)-(root(6)(n^2+1))/(n^2+2^n))$
se è questa, a me risulta a termini positivi (ma controlla i conti)
$sqrt(n^3+n)-(root(6)(n^2+1))/(n^2+2^n)>=0$
$sqrt(n^3+n)>=(root(6)(n^2+1))/(n^2+2^n)$
$sqrt(n(n^2+1))>=(root(6)(n^2+1))/(n^2+2^n)$
risulta sempre verificata nell'intervallo che ci interessa ( $AA nin[1,infty)$ )
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