Capire quando una singolarità è eliminabile oppure no
Salve a tutti, vorrei sapere come faccio a capire quando una singolarità è eliminabile oppure no. Se potete scrivete qualche esempio 
Risposte
Ci provo.
Se $f(Xo)$ non esiste oppure $f(Xo)!=l$, con l = limf(x) per x che tende a Xo, allora tale discontinuità è eliminabile. Basta attribuire alla funzione nel punto Xo il valore del limite in quel punto.
$(2x^2-8)/(x-2)$ non è definita in x=2, Tale discontinuità e liminabile definendo la funzione f(2) = 8, che è il valore del limite della f per x che tende a 2.
$(|x|)/x*sqrt(|x|)$ in questo caso la f non è definita in 0, presenta cioè una discontinuità. Per eliminare tale discontinuità si pone f(0)=0, essendo 0 il valore del limite di tale funzione per x che tende a 0.
Se $f(Xo)$ non esiste oppure $f(Xo)!=l$, con l = limf(x) per x che tende a Xo, allora tale discontinuità è eliminabile. Basta attribuire alla funzione nel punto Xo il valore del limite in quel punto.
$(2x^2-8)/(x-2)$ non è definita in x=2, Tale discontinuità e liminabile definendo la funzione f(2) = 8, che è il valore del limite della f per x che tende a 2.
$(|x|)/x*sqrt(|x|)$ in questo caso la f non è definita in 0, presenta cioè una discontinuità. Per eliminare tale discontinuità si pone f(0)=0, essendo 0 il valore del limite di tale funzione per x che tende a 0.
tutte le discontinuità allora sarebbero eliminabili perchè se faccio il limite per X che tende alla discontinuità tutte tendono ad un valore...io sapevo poi che una singolarità è eliminabile se il residuo calcolato in quella discontinuità è 0. oppure se i termine C-n della serie di laurent è uguale a 0.
Sapete darmi degli esempi piu concreti?
Sapete darmi degli esempi piu concreti?
"PoppoGBR":
tutte le discontinuità allora sarebbero eliminabili perchè se faccio il limite per X che tende alla discontinuità tutte tendono ad un valore...io sapevo poi che una singolarità è eliminabile se il residuo calcolato in quella discontinuità è 0. oppure se i termine C-n della serie di laurent è uguale a 0.
Sapete darmi degli esempi piu concreti?
Considero $z_0$ una singolarità della funzione $f(z)$.
Se $lim_(z->z_0) f(z)=\text{non esiste}$ si ha singolarità essenziale.
Se $lim_(z->z_0) f(z)=oo$ si ha un polo.
Se $lim_(z->z_0) f(z)=\text{costante}$ si è in presenza di una singolarità eliminabile.
Alcuni semplici esempi:
A) $lim_(z->0) e^(1/z)$.
$lim_(z->0^+) e^(1/z)=oo$
$lim_(z->0^-) e^(1/z)=0$ In conclusione questa è una sing. essenziale.
B) $lim_(z->2) 1/(z-2)=oo$, di conseguenza $lim_(z->2) (z-2)*1/(z-2)=1$ polo di ordine 1.
C)Prendiamo la funzione $f(z)=(sen z)/z$. Questa ha una singolarità in $z=0$
Ora $lim_(z->0) (sen z)/z=1$ singolarità eliminabile.
A) $lim_(z->0) e^(1/z)$.
$lim_(z->0^+) e^(1/z)=oo$
$lim_(z->0^-) e^(1/z)=0$ In conclusione questa è una sing. essenziale.
B) $lim_(z->2) 1/(z-2)=oo$, di conseguenza $lim_(z->2) (z-2)*1/(z-2)=1$ polo di ordine 1.
C)Prendiamo la funzione $f(z)=(sen z)/z$. Questa ha una singolarità in $z=0$
Ora $lim_(z->0) (sen z)/z=1$ singolarità eliminabile.
quindi per qualsiasi funzione che abbia sia il limite da destra che da sinitra una costante uguale per tutti e due i limiti posso anche non calcolarne il residuo.
quinsi in questa funzione ci sono due singolarità eliminabili perche in entrambi i limiti viene una costante.
$(sin(pix)+sin(3pix))/(x(2x-1))$
quinsi in questa funzione ci sono due singolarità eliminabili perche in entrambi i limiti viene una costante.
$(sin(pix)+sin(3pix))/(x(2x-1))$
Ma quando si ha una singolarità eliminabile l'integrale curvilineo della funzione non si calcola?
Cosa succede in questo caso?
Cosa succede in questo caso?
"PoppoGBR":
quindi per qualsiasi funzione che abbia sia il limite da destra che da sinitra una costante uguale per tutti e due i limiti posso anche non calcolarne il residuo.
Attenzione con questa cosa. I limiti li devi calcolare in senso complesso, mica sulla retta reale. Che significa "limite da destra" e "limite da sinistra"? clrscr ha usato questa tecnica, ma implicitamente lui dice che sta calcolando il limite della restrizione ad una retta; questo può servire per mostrare che una singolarità non è eliminabile e/o non è un polo. Ma non arriverai lontano cercando di usare questa tecnica in modo costruttivo: è la stessa cosa di quegli esercizi sui limiti in due variabili in cui si dimostra che il limite non esiste valutando lungo due curve diverse.
IMHO, se stai studiando adesso per la prima volta, scordati dei "limiti da destra e da sinistra". E' troppo grande il pericolo di fare confusione con i limiti di variabile reale e un errore come quello del quote verrebbe fulminato ad un esame. Se vuoi mostrare che una singolarità è essenziale puoi usare altri metodi, ad esempio:
poniamo $w=1/z$. Allora $e^(1/z)=e^w$ di cui conosciamo uno sviluppo in serie, quindi $e^w=sum_{n=0}^inftyw^n/(n!)=sum_{n=0}^infty(n!)^(-1)*(z^(-n))$ che è uno sviluppo in serie di Laurent di centro $z=0$. Puoi vedere direttamente che ci sono infiniti termini singolari.
"clrscr":
[quote="PoppoGBR"]tutte le discontinuità allora sarebbero eliminabili perchè se faccio il limite per X che tende alla discontinuità tutte tendono ad un valore...io sapevo poi che una singolarità è eliminabile se il residuo calcolato in quella discontinuità è 0. oppure se i termine C-n della serie di laurent è uguale a 0.
Sapete darmi degli esempi piu concreti?
Considero $z_0$ una singolarità della funzione $f(z)$.
Se $lim_(z->z_0) f(z)=\text{non esiste}$ si ha singolarità essenziale.
Se $lim_(z->z_0) f(z)=oo$ si ha un polo.
Se $lim_(z->z_0) f(z)=\text{costante}$ si è in presenza di una singolarità eliminabile.[/quote]
E nel caso in cui il limite dovesse risultare $0$ ?
Che cosa sei andato a pescare... Comunque $0$ è una costante, quindi singolarità eliminabile. Ma stai attento con questo topic, non è molto ben scritto. Meglio scordarselo e andare a vedere sul libro di analisi complessa. Recentemente Gugo ha consigliato degli appunti on-line di Luigi Greco che trattano anche questo argomento.
"dissonance":
Che cosa sei andato a pescare... Comunque $0$ è una costante, quindi singolarità eliminabile. Ma stai attento con questo topic, non è molto ben scritto. Meglio scordarselo e andare a vedere sul libro di analisi complessa. Recentemente Gugo ha consigliato degli appunti on-line di Luigi Greco che trattano anche questo argomento.
Ti ringrazio molto per la risposta!Sto studiando proprio dal libro del Prof.Greco.Più che altro il dubbio che ho postato è sorto in seguito al risultato di questo limite:
$lim_(z->-1-j)(z^(4)-3jz^(2)-2)/((z-1-j)*coshz)=0$
che mi dà $0$ perchè il numeratore si annulla.La mia Prof.ssa invece ha scritto che è un polo del I ordine per la funzione $(z^(4)-3jz^(2)-2)/((z-1-j)*coshz)$
Mah, non lo so, non sono molto bravo con i conti, ma mi sa che la prof ha ragione. $1/(cosh z)$ è olomorfa tranne che su $(pi/2+kpi)j$, e quelle sono singolarità essenziali. Quel rapporto $frac{z^4-3jz^2-2}{z-1-j}$ si semplifica in $frac{1}{(z^2-j)(z+1+j)}$ che ha tre poli semplici: in $+-j$ e in $-1-j$. In totale la tua funzione ha tre poli semplici e una infinità numerabile di singolarità essenziali. A me i conti tornano così, forse hai sbagliato qualcosa nel calcolare il limite.
EDIT: eh si buonanotte, scusatemi: $(pi/2+kpi)j$ sono poli del primo ordine, non singolarità essenziali.
EDIT: eh si buonanotte, scusatemi: $(pi/2+kpi)j$ sono poli del primo ordine, non singolarità essenziali.
"dissonance":
Mah, non lo so, non sono molto bravo con i conti, ma mi sa che la prof ha ragione. $1/(cosh z)$ è olomorfa tranne che su $(pi/2+kpi)j$, e quelle sono singolarità essenziali. Quel rapporto $frac{z^4-3jz^2-2}{z-1-j}$ si semplifica in $frac{1}{(z^2-j)(z+1+j)}$ che ha tre poli semplici: in $+-j$ e in $-1-j$. In totale la tua funzione ha tre poli semplici e una infinità numerabile di singolarità essenziali. A me i conti tornano così, forse hai sbagliato qualcosa nel calcolare il limite.
Capisco...beh i conti li ha fatti il Matlab che calcolando il rapporto nel punto $z=-1-j$ mi ha restituito per il numeratore:
$-4-6j^2-2=-4+6-2=0$
mentre per il denominatore
$(-1-j-1-j)cosh(-1-j)=-(2+2j)(-j)=-2j+2$.
Credo che il procedimento sia proprio quello svolto da te!La cosa che non mi convince sono i conti...per questo motivo ho espresso il mio dubbio sul forum
Riporto il calcolo fatto con il Matlab:
>> f = (z^(4)-3*i*z^(2)-2)/(z-1-i)*cosh(z) f = (z^4-3*i*z^2-2)/(z-1-i)*cosh(z) >> limit(f,z,-1-j) ans = 0
Ed ecco svelato il mistero! Hai scritto prima $i$ e poi $j$. 
Chissà che cosa ha calcolato, MATLAB.
Che poi, mi sa che l'unità immaginaria in MATLAB non si scrive in nessuno di quei due modi lì. Ma comunque se devi fare calcoli simbolici come questi MATLAB non è adatto. I software commerciali per questi scopi sono Maple e Mathematica (eventualmente va bene anche il sito Wolfram Alpha), poi ce ne sono anche di liberi, come Maxima e SAGE.
Chissà che cosa ha calcolato, MATLAB. Che poi, mi sa che l'unità immaginaria in MATLAB non si scrive in nessuno di quei due modi lì. Ma comunque se devi fare calcoli simbolici come questi MATLAB non è adatto. I software commerciali per questi scopi sono Maple e Mathematica (eventualmente va bene anche il sito Wolfram Alpha), poi ce ne sono anche di liberi, come Maxima e SAGE.
"dissonance":
Ed ecco svelato il mistero! Hai scritto prima $i$ e poi $j$.
Che poi, mi sa che l'unità immaginaria in MATLAB non si scrive in nessuno di quei due modi lì. Ma comunque se devi fare calcoli simbolici come questi MATLAB non è adatto. I software commerciali per questi scopi sono Maple e Mathematica (eventualmente va bene anche il sito Wolfram Alpha), poi ce ne sono anche di liberi, come Maxima e SAGE.
Guarda che usare "i" oppure "j" è del tutto equivalente:
>> help I
I Imaginary unit.
As the basic imaginary unit SQRT(-1), i and j are used to enter
complex numbers. For example, the expressions 3+2i, 3+2*i, 3+2j,
3+2*j and 3+2*sqrt(-1) all have the same value.
>> help J
J Imaginary unit.
As the basic imaginary unit SQRT(-1), i and j are used to enter
complex numbers. For example, the expressions 3+2i, 3+2*i, 3+2j,
3+2*j and 3+2*sqrt(-1) all have the same value.
Infatti sia usando "i" che usando "j" in questo caso restituiscono lo stesso risultato ossia $0$ che è proprio quello che ho ottenuto io calcolando il limite con carta e penna
Ti ringrazio per il consiglio comunque
Ah ecco! Allora forse ho capito dov'è il guaio. Mi sa che in MATLAB per indicare una funzione, ovvero una espressione dipendente da un parametro, devi usare un costrutto particolare (che se non sbaglio si chiama handle). Non mi ricordo bene, mannaggia... Però mi ricordo che, ad esempio, se volevo definire $f(x):=sin(x)$, scrivendo $f=sin x$ non ottenevo il risultato sperato: dovevo invece scrivere $f:="@"(x) sin x$ o qualcosa del genere. Forse ne sai più tu di me, ma se non dovesse essere così prova a cercare "function handle" nella guida in linea.
Resta il fatto che, comunque, MATLAB non è adatto al calcolo simbolico, e su questo saremo sicuramente d'accordo. Per queste cose, se devi solamente correggere un esercizio, al limite è meglio andare qui:
http://www76.wolframalpha.com/examples/Math.html
Allora forse ho capito dov'è il guaio. Mi sa che in MATLAB per indicare una funzione, ovvero una espressione dipendente da un parametro, devi usare un costrutto particolare (che se non sbaglio si chiama handle). Non mi ricordo bene, mannaggia... Però mi ricordo che, ad esempio, se volevo definire $f(x):=sin(x)$, scrivendo $f=sin x$ non ottenevo il risultato sperato: dovevo invece scrivere $f:="@"(x) sin x$ o qualcosa del genere. Forse ne sai più tu di me, ma se non dovesse essere così prova a cercare "function handle" nella guida in linea. Resta il fatto che, comunque, MATLAB non è adatto al calcolo simbolico, e su questo saremo sicuramente d'accordo. Per queste cose, se devi solamente correggere un esercizio, al limite è meglio andare qui:
http://www76.wolframalpha.com/examples/Math.html
"dissonance":
Ah ecco!
Resta il fatto che, comunque, MATLAB non è adatto al calcolo simbolico, e su questo saremo sicuramente d'accordo. Per queste cose, se devi solamente correggere un esercizio, al limite è meglio andare qui:
http://www76.wolframalpha.com/examples/Math.html
Sicuramente per il calcolo simbolico sono molto migliori i programmi indicati da te
.In Matlab per calcolare integrali,derivate,limiti come in questo caso bisogna definire opportunamente la funzione simbolica.Nel caso della funzione $f(x):=sin(x)$ non basta scrivere
$f=sin(x)$ perchè bisogna dichiarare la variabile $x$ con il comando "syms" in modo da avere in Workspace-->Class-->sym object.
Spero che con queste risposte non ho fuorviato troppo il contenuto del Topic
Il topic era vecchio di due anni quindi non ci saranno problemi, e poi quello che ha combinato casino sono io! 
Di MATLAB ne sai evidentemente molto più di me quindi, se non riesci a capire tu perché sbaglia a calcolare quel limite, certamente non sono in grado di capirlo io.
Di MATLAB ne sai evidentemente molto più di me quindi, se non riesci a capire tu perché sbaglia a calcolare quel limite, certamente non sono in grado di capirlo io.
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