Capire graficamente conv. puntuale e uniforme
salve
ho guardato in giro un pò di topic sul come capire graficamente, come immaginare la conv. puntuale e uniforme.
ma io a parte intuizioni prese da esercizi, non riesco bene a capire, oppure la cosa inversa: partendo da grafici capire se la conv. è uniforme o SOLO puntuale
a quanto so:
Graficamente
conv. puntuale: si disegna la funzione limite, quando si inizia a tracciare le funzioni di successioni si ottengono un groviglio di curve.
avevo pensato a questa successione di funzione:
$f_n (x) = x^2 /(n+x^2)$
la puntuale è $f(x)=0$
per la uniforme, il sup (trovato cn la derivata, max...) è $1$ quindi risulta solo puntuale....
come posso commentare questo grafico? io avevo pensato che per n->oo il grafico della successione coincide con $y=f(x)=1$ ma sento c'è di più...
conv. uniforme:
si disegna la funzione limite trovato nella puntuale.....a crescere di $n$ succede che queste funzioni hanno un profilo identico a quello della funzione limite (si discostano dalla $f(x)$ solo per l'epsilon molto piccolo e maggiore di 0) e tutte queste funzioni sono disegnate in una STRISCIA MOLTO STRETTA
dove vederla questa striscia stretta? *_*
illuminatemi, please xD
ho guardato in giro un pò di topic sul come capire graficamente, come immaginare la conv. puntuale e uniforme.
ma io a parte intuizioni prese da esercizi, non riesco bene a capire, oppure la cosa inversa: partendo da grafici capire se la conv. è uniforme o SOLO puntuale
a quanto so:
Graficamente
conv. puntuale: si disegna la funzione limite, quando si inizia a tracciare le funzioni di successioni si ottengono un groviglio di curve.
avevo pensato a questa successione di funzione:
$f_n (x) = x^2 /(n+x^2)$
la puntuale è $f(x)=0$
per la uniforme, il sup (trovato cn la derivata, max...) è $1$ quindi risulta solo puntuale....
come posso commentare questo grafico? io avevo pensato che per n->oo il grafico della successione coincide con $y=f(x)=1$ ma sento c'è di più...
conv. uniforme:
si disegna la funzione limite trovato nella puntuale.....a crescere di $n$ succede che queste funzioni hanno un profilo identico a quello della funzione limite (si discostano dalla $f(x)$ solo per l'epsilon molto piccolo e maggiore di 0) e tutte queste funzioni sono disegnate in una STRISCIA MOLTO STRETTA
dove vederla questa striscia stretta? *_*
illuminatemi, please xD
Risposte
Allora la convergenza è:
- puntuale sull'intervallo $x \in RR$
- uniforme sull'intervallo $x=[a,b]$ dove $a,b \inRR$
Occhio a capire bene l'intervallo della c. uniforme. La scrittura dice che l'intervallo che consideri può essere grande quanto vuoi, ma non può essere tutto $RR$. In pratica vanno bene tutti gli intervalli tranne tutto $RR$.
Se ad esempio voglio che la generica $f_n$ si discosti dalla funzione limite per $\epsilon<10^(-10)$ cosa faccio ?
Calcolo
$|f-f_n| = f_n = (x^2)/(n+x^2) < \epsilon $
$x^2(1-10^(-10)) < n\ 10^(-10)$
$n > 10^(10)x^2$
Se ad esempio voglio che la funzione converga uniformemente su un intervallo $x=[-100,100]$ avrò
$n>10^(14)$
Come si vede $n$ dipende solo da $\epsilon$ e non da $x$, quindi la convergenza è uniforme.
Come faccio a vedere che se prendo un intervallo per $x$ più grande, la condizione per $n$ non è più sufficiente ?
Beh, ipotizzo di prendere $n$ il più piccolo possibile, sempre riferito al mio esempio, cioè $10^(14)+1$.
Ora è suffiente prendere $x=[-101,101]$ e vedo che in $x=101$, non è più vero che $f_n<\epsilon$.
Così dovrebbe essere più chiaro, con un esempio concreto.
Purtroppo quando la matematica si fa a questi livelli, gli esempi banali vengono fatti sempre più raramente, eppure sono importantissimi.
- puntuale sull'intervallo $x \in RR$
- uniforme sull'intervallo $x=[a,b]$ dove $a,b \inRR$
Occhio a capire bene l'intervallo della c. uniforme. La scrittura dice che l'intervallo che consideri può essere grande quanto vuoi, ma non può essere tutto $RR$. In pratica vanno bene tutti gli intervalli tranne tutto $RR$.
Se ad esempio voglio che la generica $f_n$ si discosti dalla funzione limite per $\epsilon<10^(-10)$ cosa faccio ?
Calcolo
$|f-f_n| = f_n = (x^2)/(n+x^2) < \epsilon $
$x^2(1-10^(-10)) < n\ 10^(-10)$
$n > 10^(10)x^2$
Se ad esempio voglio che la funzione converga uniformemente su un intervallo $x=[-100,100]$ avrò
$n>10^(14)$
Come si vede $n$ dipende solo da $\epsilon$ e non da $x$, quindi la convergenza è uniforme.
Come faccio a vedere che se prendo un intervallo per $x$ più grande, la condizione per $n$ non è più sufficiente ?
Beh, ipotizzo di prendere $n$ il più piccolo possibile, sempre riferito al mio esempio, cioè $10^(14)+1$.
Ora è suffiente prendere $x=[-101,101]$ e vedo che in $x=101$, non è più vero che $f_n<\epsilon$.
Così dovrebbe essere più chiaro, con un esempio concreto.
Purtroppo quando la matematica si fa a questi livelli, gli esempi banali vengono fatti sempre più raramente, eppure sono importantissimi.
"Quinzio":
puntuale sull'intervallo x∈R
non dovrebbe dirsi 'puntuale' su un punto fissato x di R? (nel senso x non mi pare intervallo *_*) anche se so bene che la definizione di conv. puntuale e uniforme sono pur sempre vincolate ad intervallo...
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