Capire che metodo di integrazione usare.

[Max.8911]

Io conosco questi metodi di integrazione:

-Integrazione immediata quando è evidente la soluzione(avendo la giusta tabella).
-Integrazione per sostituzione quando c'è la derivata di una funzione(allora faccio una cosa del tipo f'dx = dt poi sostituisco).
-Integrazione per parti quando c'è un prodotto di funzioni(di una devo sapere la derivata e dell'altro l'integrale).
-Integrazione delle fratte(il grado numeratore deve essere minore del grado del denominatore).

Ora io ho questo integrale:

$\int e^-x cos(2x + 1) dx$

E teoricamente dovrei usare l'integrazione per parti.
Però risolvendolo mi viene sempre un integrale con un prodotto dentro e continuando l'integrazione per parti non riesco a finirlo.
(sia che tenga e^-x come integrale che viceversa).

[oil.oli]

proverei prima per sostituzione con (2x+1)=t
e poi per parti...!

[stefano_89]

Allora, per risolvere questo integrale, puoi integrare 2 volte per parti, e poi noterai che ti ricompare l' integrale iniziale. Cioè:

$\int e^-xcos(2x + 1)dx = -e^-xcos(2x + 1) -2\int e^-xsen(2x + 1)dx = -e^-xcos(2x + 1) + 2e^-xsen(2x + 1) -2\inte^-xcos(2x + 1)dx$

Ora, puoi chiamare $I = \int e^-xcos(2x + 1)dx$ ed ottieni che la tua primiteva è: $(2e^-xsen(2x + 1)-e^-xcos(2x + 1) )/3$

[Max.8911]

Ma si possono mischiare i 2 metodi: sostituzione e parti ?

[K.Lomax]

Dal momento che una sostituzione o una integrazione per parti ti porta a dover risolvere un altro integrale, puoi fare ciò che vuoi quante volte vuoi, purchè in maniera corretta.