Campo Vettoriale e Lavoro
Ho il seguente campo
$F(x,y,z) = a/x i + b/y j + c/z k $ con $i,j,k$ i versori. Devo dire se il campo è conservativo o meno. Intanto il campo non è definito lungo gli assi. Uguagliando le derivate miste esse tornano tutte uguali a zero : posso affermare che il campo è conservativo la dove è definito?
Inoltre devo calcolare il lavoro svolto dal campo $F$ dal punto $ A= ( 1,1,1)$ al punto $B ( -1,-1,-1)$ lungo un percorso a scelta.
Scegliendo un percorso a segmenti cioè andando prima dal punto a $(1,1,1)$ al punto $(-1,1,1)$ ( perciò spostandomi lungo x) e così via ottengo che il lavoro è
$ L= int_(1)^(-1) a/x dx + int_(1)^(-1) b/y dy + int_(1)^(-1) c/z dz $
Tutti gli integrali passano passano per il punto zero, in cui le varie funzioni scalari non sono definiti, come faccio a calcolare il lavoro? Pongo banalmente $L=0$ guardando gli estremi di integrazione oppure devo fare un ragionamento più complesso?
$F(x,y,z) = a/x i + b/y j + c/z k $ con $i,j,k$ i versori. Devo dire se il campo è conservativo o meno. Intanto il campo non è definito lungo gli assi. Uguagliando le derivate miste esse tornano tutte uguali a zero : posso affermare che il campo è conservativo la dove è definito?
Inoltre devo calcolare il lavoro svolto dal campo $F$ dal punto $ A= ( 1,1,1)$ al punto $B ( -1,-1,-1)$ lungo un percorso a scelta.
Scegliendo un percorso a segmenti cioè andando prima dal punto a $(1,1,1)$ al punto $(-1,1,1)$ ( perciò spostandomi lungo x) e così via ottengo che il lavoro è
$ L= int_(1)^(-1) a/x dx + int_(1)^(-1) b/y dy + int_(1)^(-1) c/z dz $
Tutti gli integrali passano passano per il punto zero, in cui le varie funzioni scalari non sono definiti, come faccio a calcolare il lavoro? Pongo banalmente $L=0$ guardando gli estremi di integrazione oppure devo fare un ragionamento più complesso?
Risposte
Qualcuno mi può dare un suggerimento? Grazie cmq in anticipo!!
non capisco cosa significa che le derivate miste vanno a 0. quello che devi verificare è che il campo sia irrotazionale. se è irrotazionale, allora puoi dire che nei singoli domini semplicemente connessi è esatta
Si in effetti non sono stato molto chiaro. Per derivate miste intendo :
un campo conservativo è il gradiente di una funzione scalare $F= nabla omega $ con $omega$ funzione scalare dipendente da $x,y,z$.
Le componenti del campo sono le derivate prime della funzione $omega$ rispetto a $x,y,z$.
Se le derivate secondarie miste di $omega$ sono uguali e il dominio è stellato allora il campo è conservativo.
Quello che chiedevo è se escludo i punti in cui il campo non è definito, posso dire che in tutti gli altri punti il campo è conservativo?
un campo conservativo è il gradiente di una funzione scalare $F= nabla omega $ con $omega$ funzione scalare dipendente da $x,y,z$.
Le componenti del campo sono le derivate prime della funzione $omega$ rispetto a $x,y,z$.
Se le derivate secondarie miste di $omega$ sono uguali e il dominio è stellato allora il campo è conservativo.
Quello che chiedevo è se escludo i punti in cui il campo non è definito, posso dire che in tutti gli altri punti il campo è conservativo?
ti ripeto quello che ti ho detto sopra, e cioè che devi guardare se il campo è irrotazionale. derivate miste uguali non significa niente in questo contesto, non si capisce cosa vuoi dire.
il teorema cui fai riferimento ti garantisce l'esattezza della forma differenziale (conservatività del campo) a patto che questo sia irrotazionale, ma solo in un dominio semplicemente connesso o stellato, non nell'unione di più domini disgiunti.
per quanto riguarda il calcolo del lavoro, detto onestamente non saprei farlo, non essendomi mai capitato un caso del genere. posso sospettare che si tratti di un campo conservativo di cui calcolare i potenziali nei due punti A e B, e poi farne la differenza, ma questo lo deduco solo dal fatto che nella consegna è scritto "lungo un qualsiasi percorso". si presenta il problema di attraversare (almeno) un punto in cui la forma differenziale non è definita, e questo fa saltare la possibilità di usare il teorema che conosco. forse ti può aiutare qualcun altro.
il teorema cui fai riferimento ti garantisce l'esattezza della forma differenziale (conservatività del campo) a patto che questo sia irrotazionale, ma solo in un dominio semplicemente connesso o stellato, non nell'unione di più domini disgiunti.
per quanto riguarda il calcolo del lavoro, detto onestamente non saprei farlo, non essendomi mai capitato un caso del genere. posso sospettare che si tratti di un campo conservativo di cui calcolare i potenziali nei due punti A e B, e poi farne la differenza, ma questo lo deduco solo dal fatto che nella consegna è scritto "lungo un qualsiasi percorso". si presenta il problema di attraversare (almeno) un punto in cui la forma differenziale non è definita, e questo fa saltare la possibilità di usare il teorema che conosco. forse ti può aiutare qualcun altro.
Mi ha aiutato il professore direttamente. In questo caso ha detto il che il dominio è cmq semplicemente connesso. Perciò è conservativo.
@enr87: kaika88 intende (credo) fare il "determinante" della matrice che contiente il gradiente e le componenti di F, quindi se è irrotazionalle allora deve risultare il vettore nullo(in questo caso infatti è irrotazionale), comunque mi spiegate perchè in questo caso è semplicemente connesso?come dice enr87 il "lungo qualsiasi percorso" fa saltare la possiblità di un semplicemente connesso. no?
"kaia88":
Mi ha aiutato il professore direttamente. In questo caso ha detto il che il dominio è cmq semplicemente connesso. Perciò è conservativo.
non credo sia la motivazione corretta, perchè questo non è un unico dominio semplicemente connesso, ma una loro unione disgiunta.
@matematico91: non so cosa intenda, perchè ha parlato di derivate miste, ma non di rotore. se si capisce lui per me non c'è problema comunque
io continuo a non capire la spiegazione che ha dato il professore di kaia88, mentre sono d'accordo con l'analisi di enr87, potete darmi qualche suggerimento?
Utilizzare il termine di derivate seconde miste o dire irrotazionale è la medesima cosa. Poi magari mi son spiegato male. Ma il mio problema non era tanto sapere quando un campo è conservativo, bensì sapere in questo caso visto che ci sono dei punti di in cui la funzione scalare del campo non è definita capire come comportarmi. Cmq Matematico 91 ti cito ciò che mi ha detto il prof. ( che secondo me non batte un granché pari) : " E' una specie di dominio semplicemente connesso, ma come dire sconnesso" .
ok, ho capito, penso che il tuo professore intendesse questo: il campo è conservativo eccetto che in $x=0,y=0 z=0$ e non come dicevi tu su tutti gli assi ma solo in quel punto $(0,0,0)$ (l'origine) quindi è conservativo negli "ottanti" appunto perchè sono semplicemente connessi.
confermate ciò che ho detto? basta un si o un no grazie.
confermate ciò che ho detto? basta un si o un no grazie.
sicuramente (dando per scontato che sia irrotazionale) il campo è conservativo negli ottanti, però mi è venuto in mente che comunque stiamo parlando di una condizione sufficiente per l'esattezza della forma differenziale, dunque non necessaria.
anche se, ripeto, un caso del genere non ricordo di averlo mai visto, si può provare a vedere cosa succede calcolando il lavoro lungo il percorso che congiunge i due punti, magari "spezzando" l'integrale di linea nei punti in cui il campo non esiste, ma non so se questo modo di procedere sia corretto
anche se, ripeto, un caso del genere non ricordo di averlo mai visto, si può provare a vedere cosa succede calcolando il lavoro lungo il percorso che congiunge i due punti, magari "spezzando" l'integrale di linea nei punti in cui il campo non esiste, ma non so se questo modo di procedere sia corretto
Si si matematico91 è quello il ragionamento che un po' alla rinfusa mi ha fatto il prof. La mia iniziale risposta sul fatto che su gli assi il campo non è definito è una grande cavolata! Se fosse così non sarebbe semplicemente connesso. Cmq per il calcolo del lavoro, semplicemente si ricava la funzione potenziale che in questo è semplice $log |x| + log|y| + log|z|$ e si fa la differenza tra la funzione nel punto $(-1,-1,-1)$ e il punto $(1,1,1)$. Il risultato è ovvio è zero.
mi è venuto un dubbio. se il campo è conservativo tranne nell'origine, se percorro una linea chiusa che circonda l'origine il lavoro è 0?
Prova a integrare $vec F=-y/(x^2+y^2)vec i+x/(x^2+y^2)vec j$ lungo la circonferenza di centro $O(0,0)$ e raggio $R$.
si il lavoro è diverso da 0, quindi la mia affermazione sopra, è sempre valida?
Dalla formula di Green:
$\int_lPdx+Qdy=\int_S((delQ)/(delx)-(delP)/(dely))dxdy$
Quindi, se la curva chiusa non racchiude la singolarità, il lavoro è certamente nullo.
$\int_lPdx+Qdy=\int_S((delQ)/(delx)-(delP)/(dely))dxdy$
Quindi, se la curva chiusa non racchiude la singolarità, il lavoro è certamente nullo.
volevi dire se la curva racchiude la singolarità vero?
No, intendevo dire quello che ho scritto. L'integrale a secondo membro, esteso alla regione di piano racchiusa dalla curva, non deve contenere singolarità. Solo in questo caso puoi essere certo che vale zero.
ah si ok, è chiaro, grazie speculor
Ciao ragazzi!!!
Vorrei sottoporvi un esercizio un po' complicato....
Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x,y,z)=( sin(x^2 + z) + 2yz, -2xz + sin (y^2 + z), sin (x^2 + y^2) ) lungo la circonferenza: (x^2 + y^2 =1, z=2 ) percorsa in modo che la proiezione sul piano xy giri in senso orario (rispetto ad un osservatore disposto come l'asse z).
Mi potete aiutare?
Vorrei sottoporvi un esercizio un po' complicato....
Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x,y,z)=( sin(x^2 + z) + 2yz, -2xz + sin (y^2 + z), sin (x^2 + y^2) ) lungo la circonferenza: (x^2 + y^2 =1, z=2 ) percorsa in modo che la proiezione sul piano xy giri in senso orario (rispetto ad un osservatore disposto come l'asse z).
Mi potete aiutare?
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