Campo vettoriale conservativo su dominio non semplicemente connesso
Buonasera,
ho il seguente problema:
Per il testo completo vedi qui.
Potreste spiegarmi per quale motivo il campo vettoriale risulta essere conservativo in $RR^2$ meno l’origine?
Non capisco lo svolgimento, dato che è irrotazionale conclude che è conservativo, come fa ad affermarlo, dato che il dominio non è semplicemente connesso?
Grazie in anticipo per l’aiuto
ho il seguente problema:
In $Omega = RR^2 \setminus \{ (0,0) \}$ consideriamo il campo vettoriale:
$mathbf(F)(x,y) := x/(x^2 + y^2)\ mathbf(i) + y/(x^2 + y^2)\ mathbf(j)$.
Controlliamo prima se il campo è conservativo in $Omega$ e poi calcoliamo: [...]
Per il testo completo vedi qui.
Potreste spiegarmi per quale motivo il campo vettoriale risulta essere conservativo in $RR^2$ meno l’origine?
Non capisco lo svolgimento, dato che è irrotazionale conclude che è conservativo, come fa ad affermarlo, dato che il dominio non è semplicemente connesso?
Grazie in anticipo per l’aiuto
Risposte
Beh, una volta che hai calcolato esplicitamente un potenziale c'è poco da aggiungere.
Ciao _Ronaldo_CR7-,
Benvenuto sul forum!
Un campo vettoriale che ha la proprietà di essere irrotazionale non è necessariamente conservativo. Infatti la condizione di irrotazionalità è una condizione necessaria, ma non sufficiente per la conservatività: bisogna tenere conto anche dell'insieme ove il campo è definito tramite il Lemma di Poincaré. Tuttavia un campo irrotazionale definito in un aperto $\Omega \subseteq \RR^2 $ localmente è sempre conservativo perché si può sempre scegliere un intorno abbastanza piccolo da far parte dell'insieme in cui il campo sia conservativo. Questo è vero perché la irrotazionalità, come la conservatività, sono proprietà differenziali e quindi si tratta di vedere per quale approssimazione vale la differenziazione del campo.
Dato che è il tuo primo messaggio, ti riscrivo rivisto e corretto il contenuto della foto che hai postato, che sono sempre da evitare perché a lungo andare spariscono rendendo il thread illeggibile, in modo che tu possa facilmente modificare di conseguenza l'OP eliminando la foto.
1.11 In $\Omega = \RR^2 \backslash {0,0} $ consideriamo il campo vettoriale:
$\mathbf{F} = \frac{x}{x^2 + y^2} \mathbf{i} + \frac{y}{x^2 + y^2} \mathbf{j}$
Controlliamo prima se il campo è conservativo in $\Omega $ e poi calcoliamo:
a) la circuitazione lungo l'ellisse di equazione $3x^2 - xy + 10y^2 = 1 $ percorsa in senso antiorario;
b) il lavoro lungo l'arco di parabola $\gamma$ di equazione $y = 1 + x^2 $, $x \in [0,2] $;
c) il lavoro lungo un qualsiasi arco di una qualsiasi circonferenza centrata in $(0,0)$.
Calcoliamo innanzitutto $\nabla \times \mathbf{F} $. Abbiamo:
$\del_x F_2 - \del_y F_1 = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \equiv 0 $
per cui $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} $ in $\Omega $ e $ \mathbf{F} $ è localmente conservativo. Per calcolare un potenziale $U = U(x,y) $ osserviamo che deve essere:
$U_x = \frac{x}{x^2 + y^2} $, perciò $ U = \int \frac{x}{x^2 + y^2} \text{d}x = 1/2 log(x^2 + y^2) + c_1(y) $
Benvenuto sul forum!
Un campo vettoriale che ha la proprietà di essere irrotazionale non è necessariamente conservativo. Infatti la condizione di irrotazionalità è una condizione necessaria, ma non sufficiente per la conservatività: bisogna tenere conto anche dell'insieme ove il campo è definito tramite il Lemma di Poincaré. Tuttavia un campo irrotazionale definito in un aperto $\Omega \subseteq \RR^2 $ localmente è sempre conservativo perché si può sempre scegliere un intorno abbastanza piccolo da far parte dell'insieme in cui il campo sia conservativo. Questo è vero perché la irrotazionalità, come la conservatività, sono proprietà differenziali e quindi si tratta di vedere per quale approssimazione vale la differenziazione del campo.
Dato che è il tuo primo messaggio, ti riscrivo rivisto e corretto il contenuto della foto che hai postato, che sono sempre da evitare perché a lungo andare spariscono rendendo il thread illeggibile, in modo che tu possa facilmente modificare di conseguenza l'OP eliminando la foto.
1.11 In $\Omega = \RR^2 \backslash {0,0} $ consideriamo il campo vettoriale:
$\mathbf{F} = \frac{x}{x^2 + y^2} \mathbf{i} + \frac{y}{x^2 + y^2} \mathbf{j}$
Controlliamo prima se il campo è conservativo in $\Omega $ e poi calcoliamo:
a) la circuitazione lungo l'ellisse di equazione $3x^2 - xy + 10y^2 = 1 $ percorsa in senso antiorario;
b) il lavoro lungo l'arco di parabola $\gamma$ di equazione $y = 1 + x^2 $, $x \in [0,2] $;
c) il lavoro lungo un qualsiasi arco di una qualsiasi circonferenza centrata in $(0,0)$.
Calcoliamo innanzitutto $\nabla \times \mathbf{F} $. Abbiamo:
$\del_x F_2 - \del_y F_1 = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \equiv 0 $
per cui $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} $ in $\Omega $ e $ \mathbf{F} $ è localmente conservativo. Per calcolare un potenziale $U = U(x,y) $ osserviamo che deve essere:
$U_x = \frac{x}{x^2 + y^2} $, perciò $ U = \int \frac{x}{x^2 + y^2} \text{d}x = 1/2 log(x^2 + y^2) + c_1(y) $
[b]1.11[/b] In $\Omega = \RR^2 \backslash {0,0} $ consideriamo il campo vettoriale:
$\mathbf{F} = \frac{x}{x^2 + y^2} \mathbf{i} + \frac{y}{x^2 + y^2} \mathbf{j}$
Controlliamo prima se il campo è conservativo in $\Omega $ e poi calcoliamo:
a) la circuitazione lungo l'ellisse di equazione $3x^2 - xy + 10y^2 = 1 $ percorsa in senso antiorario;
b) il lavoro lungo l'arco di parabola $\gamma$ di equazione $y = 1 + x^2 $, $x \in [0,2] $;
c) il lavoro lungo un qualsiasi arco di una qualsiasi circonferenza centrata in $(0,0)$.
Calcoliamo innanzitutto $\nabla \times \mathbf{F} $. Abbiamo:
$\del_x F_2 - \del_y F_1 = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \equiv 0 $
per cui $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} $ in $\Omega $ e $ \mathbf{F} $ è localmente conservativo. Per calcolare un potenziale $U = U(x,y) $ osserviamo che deve essere:
$U_x = \frac{x}{x^2 + y^2} $, perciò $ U = \int \frac{x}{x^2 + y^2} \text{d}x = 1/2 log(x^2 + y^2) + c_1(y) $
Ok grazie mille, effettivamente il procedimento continua e finisce col determinare il potenziale tuttavia mi sembra concluda che il campo è conservativo subito dopo aver determinato che è irrotazionale , non capisco perché, dato che $RR^2 $ meno l’origine è un aperto che non è semplicemente connesso.
Leggi bene.
Il campo, essendo irrotazionale è localmente conservativo, i.e. scelto un qualsiasi punto $(x_0,y_0) in Omega$ esiste un intorno circolare $I$ di $(x_0,y_0)$ in cui $mathbf(F)$ è conservativo. Questo è un fatto banale, perché gli intorni circolari sono semplicemente connessi e puoi applicare lì dentro il lemma di Poincaré.
Tuttavia, dato che $Omega$ non è semplicemente connesso, il lemma non si applica globalmente e non puoi concludere che $mathbf(F)$ è conservativo ovunque.
Il campo, essendo irrotazionale è localmente conservativo, i.e. scelto un qualsiasi punto $(x_0,y_0) in Omega$ esiste un intorno circolare $I$ di $(x_0,y_0)$ in cui $mathbf(F)$ è conservativo. Questo è un fatto banale, perché gli intorni circolari sono semplicemente connessi e puoi applicare lì dentro il lemma di Poincaré.
Tuttavia, dato che $Omega$ non è semplicemente connesso, il lemma non si applica globalmente e non puoi concludere che $mathbf(F)$ è conservativo ovunque.
Chiaro grazie mille, quindi l’unico nodo per verificate che sia conservativo è applicare la definizione e trovare un potenziale?
No, unico no.
Vedi qui, colla solita accortezza di sostituire campo vettoriale a forma differenziale e conservativo a esatta.
Vedi qui, colla solita accortezza di sostituire campo vettoriale a forma differenziale e conservativo a esatta.
Grazie mille
Un’ultima cosa: un campo irrotazionale è sempre localmente conservativo?
Un’ultima cosa: un campo irrotazionale è sempre localmente conservativo?
"gugo82":
Il campo, essendo irrotazionale è localmente conservativo, i.e. scelto un qualsiasi punto $(x_0,y_0) in Omega$ esiste un intorno circolare $I$ di $(x_0,y_0)$ in cui $mathbf(F)$ è conservativo. Questo è un fatto banale, perché gli intorni circolari sono semplicemente connessi e puoi applicare lì dentro il lemma di Poincaré.
Secondo te?
Dal quell’affermazione mi pare che la risposta sia sì
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo