Campo vettoriale conservativo e poteziale
Salve a tutti, sono di nuovo qui. 
Come potete ben capire sto preparando l'esame di Analisi Matematica 2 e vorrei proporvi degli esercizi sui quali mi sto esercitando cercando di capire eventualmente dove erro e se magari , nel frattempo, riuscite anche ad aiutarmi nella risoluzione.
In questo caso:
Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo e determinarne un potenziale.
\[ v(x,y) = \frac{2}{3}\cdot\frac{(2x+y)}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\cdot i + \frac{2}{3}\cdot\frac{x}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\cdot j \]
Ho iniziato determinando l'insieme di definizione di riferimento ed ho azzardato
\begin{cases}2x+y \\
\\\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\end{cases} => \begin{cases}(x,y) \in R \\
\\(x^2+xy) \in R - {0} \end{cases} => \[(x,y)\in R - {0}\]
Per verificare che sia conservativo procedo a determinare che \[rotv = 0\] e quindi vado a verificare le derivate ad incrocio siano uguali:
\[Xy= \frac{2}{3}\cdot\left[(2x+y)\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}}\right]=\frac{2}{3}\cdot\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}+(2x+y)\cdot(-\frac{1}{3})\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}-1}\cdot x\right]= \frac{2}{3}\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}- \frac{2x^2+xy}{12\sqrt[3]{x^2+xy}}\right]\]
\[Yx= \frac{2}{3}\cdot\left[x\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}}\right]=\frac{2}{3}\cdot\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}+x\cdot(-\frac{1}{3})\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}-1}\cdot (2x+y)\right]= \frac{2}{3}\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}- \frac{2x^2+xy}{12\sqrt[3]{x^2+xy}}\right]\]
quindi ho che v(x) è conservativo.
Per determinare un potenziale la tecnica che ci è stata indicata in corso di studi è quella della circuitazione, quindi, su di un sistema di riferimento cartesiano xy considero come punto iniziale per la circuitazione il punto \[Po= (1,1)\] spostandomi prima sull'asse delle x e successivamente verso y ottenendo i punti \[P1=(x,1)\] ed il punto \[P=(x,y)\]
(Immagine del grafico nello spolier)
ed ottenendo che le cordinate dei due segmenti ottenuti
- ho dimenticato di segnarli sul grafico \[s1=\overline{PoP1}\] ed \[s2=\overline{P1P}\] -
\[s1=\begin{cases}x(t)= t \\y(t) =1\end{cases} \ t\in[1,x]\]
\[s2=\begin{cases}x(t)= x \\y(t) =t\end{cases} \ t\in[1,x]\]
per cui un potenziale sarà dato da:
\[U(P) = \int_{1}^{x} X_{(t,1)} \ dt + \int_{1}^{y} Y_{(x,t)} \ dt = \int_{1}^{x} \frac{2}{3}\cdot \left( \frac{2t+1}{\sqrt[3]{t^2+t}}\right) \ dt + \int_{1}^{y} \frac{2}{3}\cdot \left( \frac{x}{\sqrt[3]{x^2+xt}}\right) \ dt = ..\]
sono giunto fin qui e vorrei sapere se , fino a questo punto, l'esercizio è affrontato in modo corretto e poi se, gentilmente, riusciste ad aiutarmi nello svolgimento dell'integrale sovrastante .
Grazie in anticipo .
EDIT: ho sistemato le derivate ad incrocio che mi sembravano errate, ho rifatto i calcoli, credo siano giuste.
Come potete ben capire sto preparando l'esame di Analisi Matematica 2 e vorrei proporvi degli esercizi sui quali mi sto esercitando cercando di capire eventualmente dove erro e se magari , nel frattempo, riuscite anche ad aiutarmi nella risoluzione.
In questo caso:
Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo e determinarne un potenziale.
\[ v(x,y) = \frac{2}{3}\cdot\frac{(2x+y)}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\cdot i + \frac{2}{3}\cdot\frac{x}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\cdot j \]
Ho iniziato determinando l'insieme di definizione di riferimento ed ho azzardato
\begin{cases}2x+y \\
\\\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\end{cases} => \begin{cases}(x,y) \in R \\
\\(x^2+xy) \in R - {0} \end{cases} => \[(x,y)\in R - {0}\]
Per verificare che sia conservativo procedo a determinare che \[rotv = 0\] e quindi vado a verificare le derivate ad incrocio siano uguali:
\[Xy= \frac{2}{3}\cdot\left[(2x+y)\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}}\right]=\frac{2}{3}\cdot\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}+(2x+y)\cdot(-\frac{1}{3})\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}-1}\cdot x\right]= \frac{2}{3}\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}- \frac{2x^2+xy}{12\sqrt[3]{x^2+xy}}\right]\]
\[Yx= \frac{2}{3}\cdot\left[x\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}}\right]=\frac{2}{3}\cdot\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}+x\cdot(-\frac{1}{3})\cdot(x^2+xy)^{-\frac{1}{3}-1}\cdot (2x+y)\right]= \frac{2}{3}\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+xy}}- \frac{2x^2+xy}{12\sqrt[3]{x^2+xy}}\right]\]
quindi ho che v(x) è conservativo.
Per determinare un potenziale la tecnica che ci è stata indicata in corso di studi è quella della circuitazione, quindi, su di un sistema di riferimento cartesiano xy considero come punto iniziale per la circuitazione il punto \[Po= (1,1)\] spostandomi prima sull'asse delle x e successivamente verso y ottenendo i punti \[P1=(x,1)\] ed il punto \[P=(x,y)\]
(Immagine del grafico nello spolier)
ed ottenendo che le cordinate dei due segmenti ottenuti
- ho dimenticato di segnarli sul grafico \[s1=\overline{PoP1}\] ed \[s2=\overline{P1P}\] -
\[s1=\begin{cases}x(t)= t \\y(t) =1\end{cases} \ t\in[1,x]\]
\[s2=\begin{cases}x(t)= x \\y(t) =t\end{cases} \ t\in[1,x]\]
per cui un potenziale sarà dato da:
\[U(P) = \int_{1}^{x} X_{(t,1)} \ dt + \int_{1}^{y} Y_{(x,t)} \ dt = \int_{1}^{x} \frac{2}{3}\cdot \left( \frac{2t+1}{\sqrt[3]{t^2+t}}\right) \ dt + \int_{1}^{y} \frac{2}{3}\cdot \left( \frac{x}{\sqrt[3]{x^2+xt}}\right) \ dt = ..\]
sono giunto fin qui e vorrei sapere se , fino a questo punto, l'esercizio è affrontato in modo corretto e poi se, gentilmente, riusciste ad aiutarmi nello svolgimento dell'integrale sovrastante .
Grazie in anticipo .
EDIT: ho sistemato le derivate ad incrocio che mi sembravano errate, ho rifatto i calcoli, credo siano giuste.
Risposte
"Bum":
Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo e determinarne un potenziale.
\[ v(x,y) = \frac{2}{3}\cdot\frac{(2x+y)}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\cdot i + \frac{2}{3}\cdot\frac{x}{\sqrt[3]{x^2+xy}}\cdot j \]
Abbi pazienza, non per criticare senza motivo, ma faccio solo una considerazione: in sede d'esame, dove l'orologio avanza inesorabilmente, stai a fare tutto questo romanzo ? (fine critiche, che spero siano costruttive)...
L'integrale qui te lo servono su un piatto d'argento, addirittura mettono il $2/3$ per evitare coefficienti vari.
$\int2/3 (2x+y)/(\root[3](x^2+xy))dx = (x^2+xy)^(2/3)$
derivi rispetto a $y$ vedi che ottieni esattamente l'altra funzione, fine, potenziale $ (x^2+xy)^(2/3)+c$ in un insieme connesso $A={(x,y)\in RR^2| x!=0, x!=-y}$
"Quinzio":
in sede d'esame, dove l'orologio avanza inesorabilmente, stai a fare tutto questo romanzo ?
Ebbene si, ma non che sia scelta mia, sia chiaro, purtroppo se non fai tutto questo "romanzo" il carissimo docente non si azzarda minimamente a dartelo come buono l'esercizio. Posso stampare la tua frase e mostrargliela?
Comunque avevo risolto per l'integrale , aspettavo solo di sapere se il procedimento fosse corretto
Perchè nell'ultimo passaggio di ogni derivata parziale c'è il 12 prima della radice e non il 3 ?
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