Campo vettoriale conservativo e calcolo integrale

[alessre]

Ciao,
ho bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.
grazie :-)

[mc2]

Il segmento da (0,0,0) a (1,1,1) ha equazione parametrica:

[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
x=t \\ y=t \\ z=t\end{array} \right. \quad\quad 0 \le t \le 1
[/math]

L'integrale da calcolare e`:

[math]\int \vec{F}\cdot d\vec{l}= \int(F_x(x,y,z)dx+F_y(x,y,z)dy+F_z(x,y,z)dz)=\\
\int_0^1(F_x(t,t,t)dt+F_y(t,t,t)dt+F_z(t,t,t)dt)=\dots
[/math]

[alessre]

quindi per l'integrale si ha:

[math]\int_0^1 \frac{t}{1+t^{2}}dt-\frac{t}{1+t^{2}}dt+(1+tlogt)dt[/math]

;

[math]\int_0^1 (1+tlogt)dt[/math]

;

[math]\int_0^1 1 dt +\int_0^1 t\, logt \, dt[/math]

il secondo integrale si risolve per parti,ottenendo:

[math]\int t\, logt \, dt=\frac{t^{2}}{2}logt-\frac{t^{2}}{4}+c[/math]

quindi il nostro integrale risulta essere uguale a:

[math]\left [t+\frac{t^{2}}{2}logt-\frac{t^{2}}{4} \right ]_{0}^{1}=1-1/4=3/4[/math]

va bene?
per verificare se è conservativo cosa devo fare.
se mi puoi aiutare.
grazie.

[mc2]

I calcoli sono giusti.

Un campo conservativo deve soddisfare tutte le uguaglianze seguenti:

[math]\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}\\ \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial y}\\
\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial z}[/math]

[alessre]

abbiamo che:

[math]\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{-y(2x)}{(1+x^{2})^{2}}=-\frac{2xy}{(1+x^{2})^{2}}
[/math]

[math]\frac{\partial F_y}{\partial x}=-\frac{1(1+y^{2})}{(1+y^{2})^{2}}=-\frac{1}{(1+y^{2})}[/math]

[math]\frac{\partial F_y}{\partial z}=0[/math]

[math]\frac{\partial F_z}{\partial y}=0[/math]

[math]\frac{\partial F_z}{\partial x}=0[/math]

[math]\frac{\partial F_x}{\partial z}=0[/math]

quindi:

[math]\frac{\partial F_x}{\partial y}\not\equiv \frac{\partial F_y}{\partial x}\\ \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial y}\\
\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial z}
[/math]

pertanto il campo non è conservativo.

va bene?
fammi sapere.
grazie.

[mc2]

Ricontrolla i calcoli... F_x va derivata rispetto a y! eccetera

[alessre]

abbiamo:

[math]\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{1(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}=-\frac{1}{(1+x^{2})}[/math]

comunque il campo non è conservativo.

va bene?
fammi sapere.
grazie.

[mc2]

Devi ristudiare le derivate:

[math]\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}[/math]

qui la variabile rispetto a cui si deriva e` y, la x e` una costante! quindi perche' ti preoccupi del denominatore? E da dove e` venuto il segno - ?

La conclusione e` corretta, cioe` il campo non e` conservativo. Ma non puoi fare queste cappelle con le derivate!!!

[alessre]

il segno - errore di battitura.

grazie mille.
spero che mi aiuti anche con l'altra domanda.