Campo vettoriale conservativo
Salve, avrei un dubbio:
Se ho un campo vettoriale irrotazionale $F$ il cui insieme di definizione è $RR^2 |{(0,0)}$ e mi è chiesto se tale campo vettoriale È conservativo in $RR^2 |{(0,0)}$ , la risposta è sì o no?
Se ho un campo vettoriale irrotazionale $F$ il cui insieme di definizione è $RR^2 |{(0,0)}$ e mi è chiesto se tale campo vettoriale È conservativo in $RR^2 |{(0,0)}$ , la risposta è sì o no?
Risposte
Scusa, ma non ho capito.
La risposta alla mia domanda è sì o no?
La risposta alla mia domanda è sì o no?
A me verrebbe da dire no, in quanto l’insieme di definizione di F non è semplicemente connesso, ma se tolgo l’origine lo diventa?
Ma hai letto la risposta di Gugo?
Ci metti zero riflessione nelle tue risposte.
Un campo si definisce irrotazionale se il suo rotore è nullo.
Nel caso specifico di un campo in $RR^2$, il rotore è nullo se la forma differenziale è chiusa...ma non è detto che sia esatta, ovvero che il campo sia conservativo.
La chiusura è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè il campo sia conservativo: infatti il teorema citato da Gugo ci dice che la forma è sicuramente esatta se il dominio è semplicemente connesso.
Nel caso specifico abbiamo un campo definito in un dominio che non è semplicemente connesso ma questo non implica che la forma sia "non esatta" (come dice Gugo il teorema non è invertibile). Ergo, si cerca (se esiste) il potenziale, oppure si va studiare cosa accade in un intorno dei punti "problematici" (in questo caso l'origine).
Rileggi il post di Gugo
A questo punto appare chiaro che la domanda che poni sia una tua traduzione libera di un problema ben definito (devi imparare a riportare i testi e non a interpretarli). Infatti la domanda, così posta, non ha una risposta.
Potrebbe essere conservativo e potrebbe non esserlo.
Ci metti zero riflessione nelle tue risposte.
Un campo si definisce irrotazionale se il suo rotore è nullo.
Nel caso specifico di un campo in $RR^2$, il rotore è nullo se la forma differenziale è chiusa...ma non è detto che sia esatta, ovvero che il campo sia conservativo.
La chiusura è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè il campo sia conservativo: infatti il teorema citato da Gugo ci dice che la forma è sicuramente esatta se il dominio è semplicemente connesso.
Nel caso specifico abbiamo un campo definito in un dominio che non è semplicemente connesso ma questo non implica che la forma sia "non esatta" (come dice Gugo il teorema non è invertibile). Ergo, si cerca (se esiste) il potenziale, oppure si va studiare cosa accade in un intorno dei punti "problematici" (in questo caso l'origine).
Rileggi il post di Gugo
A questo punto appare chiaro che la domanda che poni sia una tua traduzione libera di un problema ben definito (devi imparare a riportare i testi e non a interpretarli). Infatti la domanda, così posta, non ha una risposta.
Potrebbe essere conservativo e potrebbe non esserlo.
Non mi sono spiegato bene allora, la domanda è se un campo è irrotazionale e il dominio è non semplicemente connesso, cioè se $RR^2|{(0,0)}$ è il dominio, allora è possibile dire se è conservativo in $RR^2|{(0,0)}$ senza calcolare il potenziale? Il mio dubbio è che dato che il dominio è non semplicemente connesso, irrotazionale non implica conservativo, ma se considero $RR^2$ privato dell’origine allora il dominio del campo vettoriale risulta semplicemente connesso?
Hai ragione, potrebbe esserlo o non esserlo, un campo è conservativo anche se il dominio è non semplicemente connesso, ma non mi è richiesto questo, è richiesto di stabilire se lo è sicuramente o no.
Hai ragione, potrebbe esserlo o non esserlo, un campo è conservativo anche se il dominio è non semplicemente connesso, ma non mi è richiesto questo, è richiesto di stabilire se lo è sicuramente o no.
In definitiva come posso rispondere?
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