Campo vettoriale

[danilo982]

dato un campo vettoriale di eq:

$F(x,y)=([ln(x+y)-y],[ln(x+y)-x])$

stabilire se è conservativo e in caso determinare i potenziali..

come bisogna procedere'?? grazie..

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Ciao, se il dominio è semplicemente connesso basta verificare che valga la condizione delle derivate in croce.

[cavallipurosangue]

Non vorrei dire una assurdità , perchè ancora non l'ho studiato, ma un campo è conservativo se:
$\oint_C\vec{v}(\vec{s})\cdotd\vec{s}=0$
Ossia l'integrale della funzione lungo un percorso chiuso qualsiasi deve esser nullo.

[cavallipurosangue]

Ho visto solo ora la tua risp Giovanni...

Cmq se poi esiste una funzione $\phi$ tale che: $\vec{v}(\vec{s})=\nabla\phi$, allora $\phi$ è il potenziale del campo.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Don't worry. Certamente in un dominio semplicemente connesso la circolazione del campo vettoriale conservativo è sempre nulla, ma il modo più semplice per verificare la conservatività è usare le derivate in croce perr il caso bidimensionale oppure la nullità del rotore per il caso tridimensionale. Se il dominio non fosse semplicemente connesso, ossia se nel caso bidimensionale nel dominio ci sono dei buchi, se il campo soddisfa la condizione sulle derivate o sul rotore allora bisogna verificare anche la nullità della circolazione lungo un cammino chiuso attorno alle zone escluse dal dominio, se queste condizioni sono verificate allora anche in questo caso il campo è conservativo, viceversa non lo è.

[cavallipurosangue]

Capisco, allora aspetterò l'anno prossimo per intervenire in questo topic, è meglio...

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Se tu fai il rotore del gradiente viene zero....è tutto lì il segreto...per i domini semplicemente connessi....

[danilo982]

scusa ma mi sfuggono le derivate in croce.. non le ho mai sentite

[fireball1]

...

[Camillo]

"danilo982":scusa ma mi sfuggono le derivate in croce.. non le ho mai sentite

Le derivate in croce( o incrociate) non sono altro che questo :
$F(x,y ) $ consiste di due funzioni :
$[ln(x+y)-y ; ln(x+y)-x ]$
Deriva la prima rispetto a y ; la seconda rispetto ad x e verifica se le due derivate sono uguali o no.
Se lo sono allora il campo è conservativo.

[danilo982]

ho capito e dalla loro derivata risulta che sono uguali quindi conservativo.. ora per determinare i potenizali, che bisogna fare?? bisogna gurdare se il rotore è =0
??

[Camillo]

In realtà hai già verificato che il rotore vale 0 : nel caso di 2 variabili basta verificare che $(del A) /(del y) = (del B) /(del x) $ avendo posto per semplicità : $ F(x,y) =[ A(x,y); B(x,y) ]$.
Visto che la forma differenziale $ A*dx +B*dy $ è esatta allora esiste una funzione potenziale $P(x,y) $ tale che $dP=Adx+Bdy$ e quindi sarà :
$ (delP)/(del x) =A ; (delP)/(dely) = B $
Per determinare $P(x,y)$ si dovrà risolvere il seguente integrale
: $ P(x,y) = intA(x,y) dx $ che fornirà la funzione potenziale a meno di una funzione della sola y .
Certo che a questo punto dovresti consultare un testo, degli appunti , una dispensa......in quanto l'esercizio non è ancora completato e va ricercata questa funzione della sola y, per ora sconosciuta .
Chiamiamo questa funzione sconosciuta $ g(y) $ ; allora $ P(x,y)$ sarà data dalla primitiva appena calcolata + $g(x,y)$.
Derivando il tutto rispetto a y e uguagliandolo a $ B(x,y) $ si potrà determinare $g(y) $ .