Campo vettoriale

[giangy19921]

Qualcuno mi può aiutare con questo esercizio???

-Dire se il campo vettoriale

$ F(x,y,z)=(2xz + y, x-2yz, x^2 - y^2 +z) $

è conservativo e, in caso affermativo, trovare la funzione energia potenziale U tale che $ U(0,0,0)=1 $

Grazie.

[donald_zeka]

Condizione cecessaria e sufficiente affinché un campo sia conservativo è...?

[giangy19921]

Questo campo è conservativo dato che le derivate parziali sono tutte uguali, però ora non so come calcolare la funzione energia potenziale U.

[Magma1]

$ F(x,y,z)=(2xz + y, x-2yz, x^2 - y^2 +z) $

$F$ è conservativo $hArr DeltaU=F$

${ ( (partial U)/(partial x)=2xz+y ),( (partial U)/(partial y)=x-2yz ),( (partial U)/(partial z)=x^2-y^2+z):}$

Possiamo iniziare a costruire la funzione potenziale da un qualsiasi delle tre equazioni, consideriamo $(partial U)/(partial x)$

$int(partial U)/(partial x)dx=int(2xz+y) dx$

$ rArr U=x^2z+xy+alpha(y,z)$

Deriviamo rispetto a $y$:

$(partial)/(partial y)(x^2z+xy+alpha(y,z))=x+alpha'(y,z)=$

$x+alpha'(y,z)=(partial U)/(partial y)=x-2yz$

$rArr alpha(y,z)=-y^2z+beta(z)$

Quindi la nostra funzione $U$ assume questa forma (momentanea):

$U=x^2z+xy-y^2z+beta(z) $

Deriviamo rispetto a $z$:

$(partial)/(partial z)(x^2z+xy-y^2z+beta(z))=x^2-y^2+beta'(z)$

$x^2-y^2+beta'(z)=(partial U)/(partial z)=x^2-y^2+z$

$rArr beta(z)=z^2/2$

Abbiamo quindi:

$U=x^2z+xy-y^2z+z^2/2$

[donald_zeka]

Non devono essere uguali le derivate parziali ma le derivate miste affinchè sia conservativo, inoltre tale proprietà è necessaria ma non sufficiente

[giangy19921]

Grazie mille!!!!