Campo vettoriale
salve a tutti, chiedo lumi su questo esercizio
dato un campo vettoriale verificare se è conservativo, in caso affermativo calcolarne i potenziali
f1 è il primo termine, f2 è il secondo
$ F(x,y)=((7x)/(7x^2+y^2)+8x^4;y/(7x^2+y^2)-3y^7) $
per verificare se è conservativo devo fare le derivate in croce, se non uguali allora è conservativo
$ (df_1)/dy=(-14xy)/(7x^2+y^2)^2=(df_2)/dx $
quindi è conservativo
ora mi calcolo i potenziali
integro la f1 rispetto alla x
$ G=intf_1dx=1/2log( 7x^2+y^2)+8/5x^5+c(x) $
ora derivo la G rispetto alla y
$ (dG)/dy=y/(7x^2+y^2)+c'(x) $
eguaglio il risultato con la f2
$ y/(7x^2+y^2)+c'(x)=y/(7x^2+y^2)-3y^7 $
$ c'(x)=-3y^7 $
$ c(x)=-3/8y^8 $
mi chiedo se il procedimento è giusto
e poi se è esatto fare l'inverso, cioè calcolare l'integrale della f2 rispetto alla y, quello che esce derivarlo rispetto alla x, il risultato eguagliarlo con la f1
ringrazio in anticipo chi mi risponderà
dato un campo vettoriale verificare se è conservativo, in caso affermativo calcolarne i potenziali
f1 è il primo termine, f2 è il secondo
$ F(x,y)=((7x)/(7x^2+y^2)+8x^4;y/(7x^2+y^2)-3y^7) $
per verificare se è conservativo devo fare le derivate in croce, se non uguali allora è conservativo
$ (df_1)/dy=(-14xy)/(7x^2+y^2)^2=(df_2)/dx $
quindi è conservativo
ora mi calcolo i potenziali
integro la f1 rispetto alla x
$ G=intf_1dx=1/2log( 7x^2+y^2)+8/5x^5+c(x) $
ora derivo la G rispetto alla y
$ (dG)/dy=y/(7x^2+y^2)+c'(x) $
eguaglio il risultato con la f2
$ y/(7x^2+y^2)+c'(x)=y/(7x^2+y^2)-3y^7 $
$ c'(x)=-3y^7 $
$ c(x)=-3/8y^8 $
mi chiedo se il procedimento è giusto
e poi se è esatto fare l'inverso, cioè calcolare l'integrale della f2 rispetto alla y, quello che esce derivarlo rispetto alla x, il risultato eguagliarlo con la f1
ringrazio in anticipo chi mi risponderà
Risposte
Eh no, non è mica sufficiente sapere che le derivate incrociate sono uguali affinché sia conservativo, devi considerare anche il dominio in cui consideri il tuo campo...il tuo dominio è $RR^2-(0,0)$, che non è semplicemente connesso, pertanto la condizione che hai detto non è sufficiente a garantire la conservatività
ok, quindi in pratica cosa si intende per dominio "semplicemente connesso"?
leggendo su internet la spiegazione più semplice che ho trovato è questa
In termini intuitivi e molto rozzi, ragionando nel piano: uno spazio è semplicemente connesso se è costituito da un solo pezzo e non ha buchi; uno spazio è connesso se è costituito da un solo pezzo.
in questo caso ha solo un "buco" che è il punto (0,0) e per questo non è SEMPLICEMENTE connesso
l'altra condizione per la conservatività è che sia semplicemente connesso e NON connesso e basta, quindi che il dominio in ogni caso sia R (quadro in caso di 2 variabili)
chiedo conferma
facendo "finta" che il campo sia conservativo, mi chiedo se la procedura per calcolare il potenziale va bene
inoltre mi chiedo anche se facendo la procedura che ho riportato, o l'inverso come descritto subito dopo, devo avere lo stesso risultato oppure occorre fare entrambi i calcoli e dire che i potenziali sono entrambi i risultati
sicuramente qualcosa non torna proprio perché ho calcolato il potenziale di un campo non conservativo
leggendo su internet la spiegazione più semplice che ho trovato è questa
In termini intuitivi e molto rozzi, ragionando nel piano: uno spazio è semplicemente connesso se è costituito da un solo pezzo e non ha buchi; uno spazio è connesso se è costituito da un solo pezzo.
in questo caso ha solo un "buco" che è il punto (0,0) e per questo non è SEMPLICEMENTE connesso
l'altra condizione per la conservatività è che sia semplicemente connesso e NON connesso e basta, quindi che il dominio in ogni caso sia R (quadro in caso di 2 variabili)
chiedo conferma
facendo "finta" che il campo sia conservativo, mi chiedo se la procedura per calcolare il potenziale va bene
inoltre mi chiedo anche se facendo la procedura che ho riportato, o l'inverso come descritto subito dopo, devo avere lo stesso risultato oppure occorre fare entrambi i calcoli e dire che i potenziali sono entrambi i risultati
sicuramente qualcosa non torna proprio perché ho calcolato il potenziale di un campo non conservativo
Mi sembra strano che non ti abbiano parlato a lezione dei domini semplicemente connessi, sono fondamentali nello studio nei campi vettoriali conservativi, comunque la definizione che hai trovato in pratica va più che bene.
La definizione di conservatività è una e una sola, ossia "se l'integrale di linea di un campo vettoriale tra due punti qualsiasi è indipendente dalla traiettoria percorsa allora il campo vettoriale si dice conservativo".
Chiaramente è impossibile dimostrare che un certo campo vettoriale è conservativo applicando la definizione, perché chiaramente due punti nello spazio possono essere scelti in infiniti modi e in infiniti modi possono essere scelte le traiettorie, pertanto esistono delle condizioni che permettono di dire se è conservativo o no:
1) condizione necessaria: condizione necessaria affinchè un campo sia conservativo è che le sue derivate incrociate siano uguali (nel caso di $RR^2$). Questo significa che se un campo è conservativo allora vale questa condizione, ma non è detto che se un campo soddisfa questa condizione sia conservativo, perché è appunto una condizione necessaria ma non sufficiente.
2) Quando è che la condizione di sopra oltre che necessaria diventa anche sufficiente? quando il dominio del campo è un dominio semplicemente connesso, quindi se un campo è definito in un dominio semplicemente connesso e vale la condizione 1 allora è conservativo.
Nel tuo caso hai un campo che soddisfa la condizione 1 ma non soddisfa la condizione 2 perché il suo dominio non è semplicemente connesso (in pratica quel "buco" in (0,0) crea problemi) ma questo NON significa che non possa essere conservativo...quindi hai a che fare con un campo che soddisfa la condizione 1 ma non ha dominio semplicemente connesso, per determinare se è conservativo dovresti quindi, in teoria, verificare che "l'integrale del campo su qualsiasi curva chiusa che circonda il punto (0,0) vale zero", ma verificare questo è chiaramente impossibile dato che esistono infinite curve chiuse che circondano l'origine...in teoria esiste un teorema che dice che basta verificare quanto vale l'integrale su una sola curva chiusa che circonda l'origine per capire se è conservativo o no, ma è un teorema più avanzato che sicuramente non hai trattato, quindi l'unica soluzione a questo esercizio è dire che il campo in questione è "localmente conservativo", dove per "localmente conservativo" si intende che è conservativo in un intorno di ogni punto di $RR^2-(0,0)$ (infatti un intorno di un punto di $RR^2-(0,0)$ è un dominio semplicemente connesso, pertanto in questo intorno il campo è conservativo e il potenziale in ognuno di questi intorni è quello che hai trovato.)
Il potenziale che hai calcolato va bene, e andrebbe bene anche se lo calcolassi con la procedura inversa, come ti ho detto quel potenziale va bene solo se consideri curve che non circondano l'origine, ossia va bene in qualsiasi regione di $RR^2-(0,0)$ che non ha buchi
La definizione di conservatività è una e una sola, ossia "se l'integrale di linea di un campo vettoriale tra due punti qualsiasi è indipendente dalla traiettoria percorsa allora il campo vettoriale si dice conservativo".
Chiaramente è impossibile dimostrare che un certo campo vettoriale è conservativo applicando la definizione, perché chiaramente due punti nello spazio possono essere scelti in infiniti modi e in infiniti modi possono essere scelte le traiettorie, pertanto esistono delle condizioni che permettono di dire se è conservativo o no:
1) condizione necessaria: condizione necessaria affinchè un campo sia conservativo è che le sue derivate incrociate siano uguali (nel caso di $RR^2$). Questo significa che se un campo è conservativo allora vale questa condizione, ma non è detto che se un campo soddisfa questa condizione sia conservativo, perché è appunto una condizione necessaria ma non sufficiente.
2) Quando è che la condizione di sopra oltre che necessaria diventa anche sufficiente? quando il dominio del campo è un dominio semplicemente connesso, quindi se un campo è definito in un dominio semplicemente connesso e vale la condizione 1 allora è conservativo.
Nel tuo caso hai un campo che soddisfa la condizione 1 ma non soddisfa la condizione 2 perché il suo dominio non è semplicemente connesso (in pratica quel "buco" in (0,0) crea problemi) ma questo NON significa che non possa essere conservativo...quindi hai a che fare con un campo che soddisfa la condizione 1 ma non ha dominio semplicemente connesso, per determinare se è conservativo dovresti quindi, in teoria, verificare che "l'integrale del campo su qualsiasi curva chiusa che circonda il punto (0,0) vale zero", ma verificare questo è chiaramente impossibile dato che esistono infinite curve chiuse che circondano l'origine...in teoria esiste un teorema che dice che basta verificare quanto vale l'integrale su una sola curva chiusa che circonda l'origine per capire se è conservativo o no, ma è un teorema più avanzato che sicuramente non hai trattato, quindi l'unica soluzione a questo esercizio è dire che il campo in questione è "localmente conservativo", dove per "localmente conservativo" si intende che è conservativo in un intorno di ogni punto di $RR^2-(0,0)$ (infatti un intorno di un punto di $RR^2-(0,0)$ è un dominio semplicemente connesso, pertanto in questo intorno il campo è conservativo e il potenziale in ognuno di questi intorni è quello che hai trovato.)
Il potenziale che hai calcolato va bene, e andrebbe bene anche se lo calcolassi con la procedura inversa, come ti ho detto quel potenziale va bene solo se consideri curve che non circondano l'origine, ossia va bene in qualsiasi regione di $RR^2-(0,0)$ che non ha buchi
grazie mille, sei stato molto esauriente
quindi per verificare la conservatività, derivata incrociata e dominio semplicemente connesso, chiaro!
solo un dubbio mi rimane
quindi per verificare la conservatività, derivata incrociata e dominio semplicemente connesso, chiaro!
solo un dubbio mi rimane
"hero_94":
inoltre mi chiedo anche se facendo la procedura che ho riportato, e l'inverso, devo avere per forza lo stesso risultato, occorre fare entrambi i calcoli e dire che i potenziali sono entrambi i risultati, oppure basta farne uno e dire che il potenziale è quello
Riguardo all'ultimo dubbio, ovviamente basta farne uno, il metodo che hai usato va più che bene
Ciao,
mi sembra che il problema sia stato più che adeguatamente risolto, però credo valga la pena mostrare un'alternativa che ti permette di verificare la conservatività e di trovare il potenziale con un unico metodo.
Un campo vettoriale F è conservativo se:
$ grad C = \vec{F} $
Quindi se riesci a trovare un campo scalare il cui gradiente è F sei a posto. Espandiamo la definizione:
$ { ( (partial C)/(partial x)= Fx = (7x)/(7x^2+y^2) + 8x^4 ),( (partial C)/(partial y)= Fy = (y)/(7x^2+y^2) - 3y^7 ):} { ( C= int (7x)/(7x^2+y^2)dx + int 8x^4 dx ),(C = int (y)/(7x^2+y^2)dy - int3y^7 dy):} $
Risolviamo trattando come costanti le variabili a cui l'integrale non si riferisce (eg se integro rispetto a x, considero y come una costante). Dunque abbiamo:
$ { ( C = 1/2ln|7x^2+y^2| + 8/5x^5 + f_1(y) ),( C = 1/2ln|7x^2+y^2| - 3/8y^8 + f_2(x) ):} $
Nota come anziché avere una costante di integrazione abbiamo invece una funzione. Questa può si essere una costante, ma non necessariamente (e.g. f2(x) = 5 ma anche f2(x) = 3x)
Per ispezione, è facile notare che il sistema ha una soluzione ponendo
$ f_1(y) = - 3/8y^8 $ e $ f_2(x) = 8/5x^5 $
Questa soluzione è proprio il potenziale
$ C(x, y) = 1/2ln|7x^2+y^2| + 8/5x^5 - 3/8y^8 $
Se la soluzione non è possibile trovarla, allora il campo non è conservativo.
Penso che sia più intuitivo e meno laborioso. In aggiunta, il metodo "per ispezione" va umanamente bene sino ai vettori tridimensionali, perché per ogni dimensione ti ritrovi informazioni extra che complicano il quadro. Se ti interessa posso farti vedere un metodo algebrico per fare essenzialmente lo stesso che può essere applicato a prescindere dal numero di dimensioni.
mi sembra che il problema sia stato più che adeguatamente risolto, però credo valga la pena mostrare un'alternativa che ti permette di verificare la conservatività e di trovare il potenziale con un unico metodo.
Un campo vettoriale F è conservativo se:
$ grad C = \vec{F} $
Quindi se riesci a trovare un campo scalare il cui gradiente è F sei a posto. Espandiamo la definizione:
$ { ( (partial C)/(partial x)= Fx = (7x)/(7x^2+y^2) + 8x^4 ),( (partial C)/(partial y)= Fy = (y)/(7x^2+y^2) - 3y^7 ):} { ( C= int (7x)/(7x^2+y^2)dx + int 8x^4 dx ),(C = int (y)/(7x^2+y^2)dy - int3y^7 dy):} $
Risolviamo trattando come costanti le variabili a cui l'integrale non si riferisce (eg se integro rispetto a x, considero y come una costante). Dunque abbiamo:
$ { ( C = 1/2ln|7x^2+y^2| + 8/5x^5 + f_1(y) ),( C = 1/2ln|7x^2+y^2| - 3/8y^8 + f_2(x) ):} $
Nota come anziché avere una costante di integrazione abbiamo invece una funzione. Questa può si essere una costante, ma non necessariamente (e.g. f2(x) = 5 ma anche f2(x) = 3x)
Per ispezione, è facile notare che il sistema ha una soluzione ponendo
$ f_1(y) = - 3/8y^8 $ e $ f_2(x) = 8/5x^5 $
Questa soluzione è proprio il potenziale
$ C(x, y) = 1/2ln|7x^2+y^2| + 8/5x^5 - 3/8y^8 $
Se la soluzione non è possibile trovarla, allora il campo non è conservativo.
Penso che sia più intuitivo e meno laborioso. In aggiunta, il metodo "per ispezione" va umanamente bene sino ai vettori tridimensionali, perché per ogni dimensione ti ritrovi informazioni extra che complicano il quadro. Se ti interessa posso farti vedere un metodo algebrico per fare essenzialmente lo stesso che può essere applicato a prescindere dal numero di dimensioni.
grazie mille ad entrambi
Resilienza (mi piace il nick, mi ricorda il pendolo di charpy), il tuo mex mi ha fatto venire un nuovo dubbio
prendo di riferimento il metodo che ho usato fin'ora perchè il più famigliare
io una che ho trovato la c(x) (o c(y)), nel mio caso $ -3/8y^8 $ , cos'altro devo fare per completare l'esercizio?
Resilienza (mi piace il nick, mi ricorda il pendolo di charpy), il tuo mex mi ha fatto venire un nuovo dubbio
prendo di riferimento il metodo che ho usato fin'ora perchè il più famigliare
io una che ho trovato la c(x) (o c(y)), nel mio caso $ -3/8y^8 $ , cos'altro devo fare per completare l'esercizio?
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