Campo scalare limitato?
Ciao a tutti 
Mi sto di nuovo perdendo in un bicchiere d'acqua, me lo sento.
Il campo scalare $f(x,y)=x/(sqrt(x^2+y^2))$ è limitato? La frase è estratta tale e quale dagli appunti di una lezione della scorsa settimana, presumo vada completata così: "il campo scalare è limitato in un intorno di $(0,0)$".
La proposizione che ho riportato è vera? Se sì come lo dimostro? Ho provato a calcolare il limite (per $(x,y) to (0,0)$) ma non mi pare esista, ho provato con qualche maggiorazione ma arrivo a $x/(sqrt(x^2+y^2))<=1/(2y)$ purchè $x,y$ siano entrambi minori di 1.
Che cosa mi perdo?
Grazie in anticipo.
Mi sto di nuovo perdendo in un bicchiere d'acqua, me lo sento.
Il campo scalare $f(x,y)=x/(sqrt(x^2+y^2))$ è limitato? La frase è estratta tale e quale dagli appunti di una lezione della scorsa settimana, presumo vada completata così: "il campo scalare è limitato in un intorno di $(0,0)$".
La proposizione che ho riportato è vera? Se sì come lo dimostro? Ho provato a calcolare il limite (per $(x,y) to (0,0)$) ma non mi pare esista, ho provato con qualche maggiorazione ma arrivo a $x/(sqrt(x^2+y^2))<=1/(2y)$ purchè $x,y$ siano entrambi minori di 1.
Che cosa mi perdo?
Grazie in anticipo.
Risposte
Questa è una disuguaglianza apparentemente ovvia:
[tex]$\lvert x \rvert \le \lVert (x, y) \rVert_2[/tex]
in realtà nasconde una proprietà interessante della norma euclidea, di cui parlavamo con Leonardo [url=https://www.matematicamente.it/forum/post431407.html#431407[/url]qui[/url]. Conseguenza di questa disuguaglianza è che il tuo campo scalare assume valori in [tex][-1, 1][/tex]. Ok, resta solo da dimostrarla, questa disuguaglianza: prova a vederla graficamente, in termini di cateti ed ipotenuse, e poi a darne una dimostrazione analitica, è facile.
[tex]$\lvert x \rvert \le \lVert (x, y) \rVert_2[/tex]
in realtà nasconde una proprietà interessante della norma euclidea, di cui parlavamo con Leonardo [url=https://www.matematicamente.it/forum/post431407.html#431407[/url]qui[/url]. Conseguenza di questa disuguaglianza è che il tuo campo scalare assume valori in [tex][-1, 1][/tex]. Ok, resta solo da dimostrarla, questa disuguaglianza: prova a vederla graficamente, in termini di cateti ed ipotenuse, e poi a darne una dimostrazione analitica, è facile.
Che scemo, mamma mia... se continuo così mi sa che mi conviene chiedere un po' di furbizia a Babbo Natale 
Intuitivamente, l'ipotenusa è maggiore di un cateto; formalmente, è la disuguaglianza di Cauchy Schwarz.
[tex]\lvert (x,y) \cdot (1,0) \lvert \le \lVert (x,y) \lVert \lVert (1,0)\lVert \Rightarrow \lvert x\lvert \le \lVert (x,y) \lVert[/tex]
Grazie, dissonance.
Intuitivamente, l'ipotenusa è maggiore di un cateto; formalmente, è la disuguaglianza di Cauchy Schwarz.
[tex]\lvert (x,y) \cdot (1,0) \lvert \le \lVert (x,y) \lVert \lVert (1,0)\lVert \Rightarrow \lvert x\lvert \le \lVert (x,y) \lVert[/tex]
Grazie, dissonance.
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